1、第一章 三角函数14 三角函数的图象与性质14.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)内 容 标 准学 科 素 养1.掌握 ysin x，ycos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值2.掌握 ysin x，ycos x 的单调性，并能利用单调性比较大小3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的单调区间.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域阅读教材 P3738，思考并完成以下问题正弦函数 ysin x，余弦函数 ycos x，xR，有最值吗？值域如
2、何？(1)ysin x，x0，2图象的最高点坐标、最低点坐标是多少？提示：2，1、32，1.(2)ycos x，x0，2图象的最高点、最低点坐标是多少？提示：(0，1)、(2，1)，(，1)(3)如果 sin x1，cos x1，(xR)，x 的值是多少？sin x1，cos x1 呢？提示：x2k2，kZ，x2k，kZ.x322k，kZ，x2k，kZ.知识梳理 可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R，值域都是_对于正弦函数 ysin x，xR，有：当且仅当 x_时，取得最大值 1；当且仅当 x_时，取得最小值1.R 2k2(kZ)2k32(kZ)对于
3、余弦函数 ycos x，xR，有：当且仅当 x_时，取得最大值 1；当且仅当 x_时，取得最小值1.ysin x，xR 的值域为_ycos x，xR 的值域为_2k，kZ 2k，kZ 1，1 1，1 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考并完成以下问题ysin x，ycos x 都有单调变化，单调区间如何表示？(1)观察正弦函数 ysin x，x2，32 的图象，正弦函数在2，32 上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：2，2 单调递增22k，22k，kZ 单调递增，2，32 单调递减22k，322k，kZ 单调递减(2)观察余弦函数 ycos x，x，的图象余弦函数在，上函数值的
4、变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：，0单调递增，2k，2k，kZ 单调递增0，单调递减2k，2k，kZ 单调递减知识梳理 正弦函数余弦函数图象单调性在_上递增，在_上递减在_上递增，在_上递减22k，22k，(kZ)22k，322k，(kZ)2k，2k，kZ2k，2k，kZ自我检测1在下列区间中，使 ysin x 为增函数的是()A0，B.2，32C.52，32D，2答案：C2函数 ysin x，x0，的值域为_答案：0，1探究一 正弦函数、余弦函数的单调性阅读教材 P3940 例 5方法步骤：(1)换元(2)代入(3)求解例 1(1)下列函数，在2，上是增函数的是()Aysin x
5、Bycos xCysin 2xDycos 2x解析 当 x2，时，2x，2，ycos 2x 为增函数答案 D(2)求函数 y1sin12x4，x4，4的单调减区间解析 y1sin12x4 sin12x4 1.由 2k212x42k2(kZ)，解得 4k2x4k32(kZ)又x4，4，函数 y1sin12x4 的单调减区间为4，52，2，32，72，4.方法技巧 单调区间的求法求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)的函数的单调区间，要先把 化为正数，(1)当 A0 时，把 x 整体放入 ysin x 或 ycos x 的单调增区间内，求得的 x的范围即函数的增区间；放入 ysin x 或
6、ycos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间(2)当 A0，0742 110.ycos x 在0，上递减，cos2 110 cos74.即 sin 110cos74.(2)cos38 sin8，0cos38 sin38 1.ysin x 在(0，1)内递增，sincos38 sinsin38.方法技巧 比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小跟踪探究 比较下列各组数的大小：(1)sin376 与 sin493 ；(2)cos 8718 与 sin 499.解析：(1)sin376 sin66 sin6，s
7、in493 sin163 sin3，ysin x 在2，2 上是增函数，sin6 sin3，即 sin376 sin493.(2)cos8718 cos456 cos56，sin499 sin4139sin139 sin21718 cos1718，056 1718 cos1718，即 cos8718 sin499.探究三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题阅读教材 P3839 例 3方法步骤：(1)确定自变量的取值；(2)确定角的取值范围；(3)利用范围求最值角度 1 简单的正、余弦函数的值域问题例 3 求函数 y2sin2x3，x6，6 的值域解析 6x6，32x3.02x323，0sin
8、2x3 1.00)的最大值为32，最小值为12，求函数 y4acos bx 的最值和最小正周期解析 yabcos x(b0)，ymaxab32，yminab12.由ab32，ab12，解得a12，b1.y4acos bx2cos x，函数 y4acos bx 的最大值为 2，最小值为2，最小正周期为 2.方法技巧(1)求形如 yAsin(x)的函数值域问题，应先根据 x 的范围确定 x 的范围，再根据正弦函数的图象或单调性写出函数的值域；(2)求形如 yasin2xbsin xc(a0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数 g(t)at2btc在闭区间1，1上的值域问题延伸探究 3.将例
9、 3 条件改为 x6，6，求函数的最值答案：ymax2，ymin04将例 3 改为 y2cos2x3，x6，6，求值域解析：由6x6得，02x323，cos23cos2x3 cos 0，12cos2x3 2，即函数值域为1，25将例 4 改为：求函数 y2cos2x5sin x4 的值域解析：由已知得 y2(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x2.设 sin xt，则 y2t25t22t54298，t1，1当 t1 时，ymin9；当 t1 时，ymax1.函数 y2cos2x5sin x4 的值域为9，1课后小结1求函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法把 x 看
10、成一个整体，由 2k2x2k2(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k2x2k32(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为减区间若 0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则 的最小值为()A.32 B.23C2 D3解析 由题意，知当 x3时，函数 f(x)取得最大值，则 sin3 1，所以3 2k2(kZ)，所以 6k32，kZ.又 0，所以 min32，故选 A.答案 A点评 单调区间与最值、对称轴有联系此题在 x3处取最大值，关于 x3对称(2)设函数 f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f2 f23 f6，则 f(x)的最小正周期为_解析 f(x)在6，2 上具有单调性，T226，T23.又23 26 T，且 f2 f23，f(x)图象的一条对称轴为 x2232712.又f2 f6，f(x)的图象与对称轴 x712相邻的一个对称中心的横坐标为2623，14T71234，T.答案 点评 此题体现了单调性、对称性、周期性；由单调性求周期的范围，由对称性求周期课时 跟踪训练