1、2.2.2向量减法运算及其几何意义内容要求1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则(难点).2.掌握向量减法的几何意义(重点).3.能熟练地进行向量的加、减运算(重点)知识点1相反向量定义如果两个向量长度相等，而方向相反.那么称这两个向量是相反向量性质 对于相反向量有：a(a)0 若a，b互为相反向量，则ab，ab0零向量的相反向量仍是零向量【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)相反向量就是方向相反的向量()(2)向量与是相反向量()(3)，(a)a.()提示(1)，相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系(2)，与大小相等、方向相反(3)，根据
2、相反向量的定义可知其正确知识点2向量的减法1定义：aba(b).减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量2几何意义：ab表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量【预习评价】在ABC中，a，b，则()Aab BabCba Dab解析ba答案C题型一向量的减法【例1】(1)如图，等于()A BC D解析答案B(2)如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d则ab，cd规律方法求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差
3、向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量【训练1】如图所示，在正五边形ABCDE中，m，n，p，q，r，求作向量mpnqr解mpnqr(mn)(pqr).如图，连接AC，并延长至点Q，使CQAC，则，所以，即为所求作的向量mpnqr.题型二向量减法法则的运用【例2】(1)向量可以写成：；其中正确的是_(填序号)解析；()；，故填答案(2)化简：；()()解()()()()0规律方法1.向量减法运算的常用方法2向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和(2)起点相同且为差解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用【训练2】化简下列式子：(1)；(2)()()解(1)原式0(2
4、)原式()()0题型三向量减法的应用【例3】如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，及解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac规律方法用向量表示其他向量的方法(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则【训练3】如图所示，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e
5、表示；(4)用c，d表示解(1)deaade(2)bc(3)abe(4)()cd课堂小结1作两个向量的差，要结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头不要搞错了，ab的箭头要指向向量a，如果指向向量b；则表示ba.2用两个向量表示几何图形中的其他向量，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系课堂达标1下列各式中，恒成立的是()A Baa0C D0解析选项D中，0答案D2如图所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是()Aab和abBab和baCab和baDba和ba解析由向量的加法、减法得，ab，ba故选B答案B3化简：(1)_；(2)_解析(1)0；(2
6、)()()0答案(1)0(2)4若菱形ABCD的边长为2，则|_解析|2答案25如图，已知a，b，求作ab解如图(1)，(2)，(3)所示，首先作a，然后作b，则ab.基础过关1化简()A B C D0解析()()0答案D2下列等式中，正确的个数为()0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0A3 B4 C5 D6解析根据相反向量的概念知正确，所以正确的个数为5.故选C答案C3如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则等于()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac解析acbabc答案A4在ABC中，|1，则|的值为_解析|1答案15已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB
7、上有一点C，满足20，则可用，表示为_解析22()，2答案26如图，已知向量a，b，c，求作向量abc解方法一先作ab，再作abc即可如图所示，以A为起点分别作向量和，使a，b.连接CB，得向量ab，再以C为起点作向量，使c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量abc方法二先作b，c，再作a(b)(c)，如图(1)作b和c；(2)作a，则abc7如图所示，已知a，b，c，e，d，f，试用a，b，c，d，e，f表示，解ca，da，db，bafc，fd，0能力提升8平面内有四边形ABCD和点O，若，则四边形ABCD的形状是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析因为，所以，即，所以AB綊CD
8、，故四边形ABCD是平行四边形答案B9若|5，|8，则|的取值范围是()A3,8 B(3,8) C3,13 D(3,13)解析|，且|A|3|133|13答案C10已知a，b，若|12，|5，且AOB90，则|ab|_解析|12，|5，AOB90，|2|2|2，|13a，b，ab，|ab|13答案1311若a0，b0，且|a|b|ab|，则a与ab所在直线的夹角是_解析设a，b，则ab，|a|b|ab|，|，OAB是等边三角形，BOA60ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOAa与ab所在直线的夹角为30答案3012如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列向量，并分别求出其长度：A(1)abc；(2)abc解(1)由已知得abc，所以延长AC到E，使CEAC则abc= c + c，且|2所以|abc|2(2)作，连接CF，则，而ab，所以abc，且|2所以|abc|213(选做题)如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若a，b，c，试证明：bca证明方法一因为bc，a，所以bca，即bca方法二cbcbca方法三因为cab，所以bca