1、题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题题型练第54页1.已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(1)求sin(+)的值;(2)若角满足sin(+)=513,求cos 的值.解(1)由角的终边过点P-35,-45,得sin=-45,所以sin(+)=-sin=45.(2)由角的终边过点P-35,-45,得cos=-35,由sin(+)=513,得cos(+)=1213.由=(+)-,得cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以cos=-5665或cos=1665.2.在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c
2、的值;(2)求sin(B+C)的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinA=absinB=3314.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sinA=3314.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.(1)证明根据正弦定理,可设asinA=bsinB
3、=csinC=k(k0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)解由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cosA=b2+c2-a22bc=35.所以sinA=1-cos2A=45.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+3
4、5sinB,故tanB=sinBcosB=4.4.已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时,f(x)-12.(1)解f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)证明因为-4x4,所以-62x+356.所以sin2x+3sin-6=-12.所以当x-4,4时,f(x)-12.5.已知函数f(x)=sin2x+3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-3,m上的最大值为32,求m的最小值.
5、解(1)因为f(x)=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2x-6+12,所以f(x)的最小正周期为T=22=.(2)由(1)知f(x)=sin2x-6+12.因为x-3,m,所以2x-6-56,2m-6.要使f(x)在-3,m上的最大值为32,即sin2x-6在-3,m上的最大值为1.所以2m-62,即m3.所以m的最小值为3.6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)cos C+ccos B=0.(1)若ABC的面积为32,求c;(2)若点D为线段AB的中点,ACD=30,求a,b.解(1)(2a+b)cosC+
6、ccosB=0,(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,即2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0.2sinAcosC+sin(B+C)=0,即2sinAcosC+sinA=0.A(0,),sinA0.cosC=-12.C(0,),sinC=32.SABC=12absinC=3ab4=32.ab=2.在ABC中,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab=25-2=23,c=23.(2)cosC=-12,C=120.又ACD=30,BCD=90.记ADC=,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=msin.在ACD中,msin30=bsin,b=2msin.b=2a.又a+b=5,a=53,b=103.
