1、第5讲 幂函数与二次函数A级基础练1若一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，则二次函数yax2bx的图象只可能是()解析：选C.因为一次函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以a0，b0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x0.只有选项C适合，故选C.2如图，函数y，yx，y1的图象和直线x1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分若幂函数f(x)的图象经过的部分是，则f(x)可能是()Ayx2ByCyxDyx2解析：选B.因为函数yx的图象过部分，所以函数yx在第一象限内单调递减，所以，所以只有B选项符合题意3有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质
2、：(1)是偶函数；(2)值域是y|yR，且y0；(3)在(，0)上单调递增如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是()Ayx1Byx2Cyx3Dyx解析：选B.对于A，yx1是奇函数，值域是y|yR，且y0，在(，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B，yx2是偶函数，值域是y|yR，且y0，在(，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C，D中的函数不符合条件4(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xx2，则下列说法正确的是()Af(x)的最大值为Bf(x)在(1，0)上是增函数Cf(x)0的解集为(1，1)Df(x
3、)2x0的解集为0，3解析：选AD.因为x0时，f(x)xx2，所以f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)0的解集为(1，0)(0，1)，C错误；当x0时，f(x)2x3xx20的解集为0，3，当x0的解集为(1，3)若对任意的x1，0，f(x)m4恒成立，则m的取值范围是()A(，2B4，)C2，)D(，4解析：选B.因为f(x)0的解集为(1，3)，所以2x2bxc0的两个根为1，3，所以得令g(x)f(x)m，则g(x)2x24x6m2(x1)28m.当x1，0时，g(x)minm，因为g(x)4在1，0上恒成立，所以m4，故选B.6(2021南通模拟)已知幂
4、函数ymxn(m，nR)的图象经过点(4，2)，则mn_解析：函数ymxn(m，nR)为幂函数，则m1；又函数yxn的图象经过点(4，2)，则4n2，解得n.所以mn1.答案：7二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_0，ac_0，abc_0.(填“”“”或“”)解析：因为a0，c0，所以b0，ac0.设yf(x)ax2bxc，则abcf(1)0，求g(x)的最大值解：(1)因为二次函数满足f(x)f(4x)，所以f(x)的图象的对称轴为直线x2.因为x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1x2|2.所以或设f(x)a(x3)(x1)(a0)由f(0)3a3得a1
5、，所以f(x)x24x3.(2)由(1)得g(x)(x0)，因为x0，所以1，当且仅当x，即x时等号成立所以g(x)的最大值是1.B级综合练11(多选)设函数f(x)ax2bxc(a0)，对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，则在函数值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()Af(1)Bf(1)Cf(2)Df(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4t)f(t)成立，所以函数f(x)ax2bxc(a0)的对称轴是x2.当a0时，函数值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a0，若a，bR，且f(a)f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是()
6、Aab0，ab0，ab0Cab0，ab0”，故函数在(0，)上为增函数，故f(x)x3.由于f(x)f(x)，故函数是单调递增的奇函数由f(a)f(b)0可知f(a)f(b)f(b)，所以ab，即ba，所以ab0.当a0时，b0时，b0，ab0；当a0时，ab0(0b0(b1，即a1)(1)若函数f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)x22ax5在(，a上为减函数，所以f(x)x22ax5(a1)在1，a上单调递减，即f(x)maxf(1)a，
7、f(x)minf(a)1，所以a2或a2(舍去)即实数a的值为2.(2)因为f(x)在(，2上是减函数，所以a2.所以f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线xa，所以f(x)minf(a)5a2，f(x)maxmaxf(1)，f(a1)，又f(1)f(a1)62a(6a2)a(a2)0，所以f(x)maxf(1)62a.因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，即62a(5a2)4，解得1a3.又a2，所以2a3.即实数a的取值范围为2，3C级创新练15(多选)已知函数f(x)2x，g(x)x2a
8、x，对于不相等的实数x1，x2，设m，n，现有如下说法，其中正确的是()A对于不相等的实数x1，x2，都有m0B对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n0C对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有mnD存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有mn解析：选AD.任取x1x2，则m20，A正确；由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，在上单调递增，可取x10，x2a，则n0，B错误；m2，nx1x2a，则mn不恒成立，C错误；m2，nx1x2a，若mn，则x1x2a2，只需x1x2a2即可，D正确16定义：如果在函数yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如yx4是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf(x0)，即关于x0的方程xmx01m在(1，1)内有实数根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0，2)答案：(0，2)
