1、第2讲匀变速直线运动一、匀变速直线运动及基本规律1.定义和分类(1)匀变速直线运动:沿着一条直线,且加速度不变的运动。(2)分类匀加速直线运动:a与v同向。匀减速直线运动:a与v反向。2.三个基本关系:(1)速度与时间的关系式:v=v0+at。(2)位移与时间的关系式:x=v0t+12at2。(3)位移与速度的关系式:v2-v02=2ax。二、匀变速直线运动的推论1.平均速度公式:v=vt2=v0+vt2。2.位移差公式:x=x2-x1=x3-x2=xn-xn-1=aT2。可以推广到xm-xn=(m-n)aT2。3.某段位移内中间位置的瞬时速度vx2与这段位移的初、末速度v0与vt的关系为vx
2、2=12(v02+vt2)4.初速度为零的匀加速直线运动比例式(1)1T末,2T末,3T末瞬时速度之比为:v1v2v3=123。(2)1T内,2T内,3T内位移之比为:x1x2x3=12232。(3)第一个T内,第二个T内,第三个T内位移之比为:xxx=135。(4)通过连续相等的位移所用时间之比为:t1t2t3=1(2-1)(3-2)。三、自由落体运动和竖直上抛运动1.自由落体运动(1)条件:物体只在重力作用下,从静止开始的运动。(2)运动性质:初速度v0=0、加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。(3)基本规律a.速度公式:v=gt。b.位移公式:h=12gt2。c.速度位移关系式:v2=
3、2gh。(4)伽利略对自由落体运动的研究a.伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。b.伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理猜想与假设实验验证合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。2.竖直上抛运动(1)运动特点:加速度为g,上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做自由落体运动。(2)基本规律a.速度公式:v=v0-gt。b.位移公式:h=v0t-12gt2。c.速度位移关系式:v2-v02=-2gh。d.上升的最大高度:h=v022g。e.上升到最大高度用时:t=v0g。1.判断下列说法对错。(1)匀变速直线运动是加速度
4、均匀变化的直线运动。( )(2)匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动。( )(3)匀加速直线运动的位移是均匀增加的。( )(4)匀加速直线运动1T末、2T末、3T末的瞬时速度之比为123。( )(5)做自由落体运动的物体,下落的高度与时间成正比。( )(6)做竖直上抛运动的物体,上升阶段与下落阶段的加速度方向相同。( )2.(人教版必修1P40T3改编)以18m/s的速度行驶的汽车,制动后做匀减速运动,在3s内前进36m,则汽车在5s内的位移为()A.50mB.45mC.40.5mD.40m答案C3.(人教版必修1P45T3改编)有一种“傻瓜”照相机,其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调
5、节,而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间,实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下,拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动,它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5m的高度下落,每块砖的平均厚度为6cm,请估算这架照相机的曝光时间为()A.0.01sB.0.02sC.0.1sD.0.2s答案B考点一匀变速直线运动的规律及应用1.速度时间关系式某质点做直线运动,速度随时间的变化关系式为v=(2t+4)m/s,则对这个质点运动情况的描述,说法正确的是()A.初速度为2m/sB.加速度为4m/s2C.在3s末,瞬时速度为10m/sD.前3s内,位移
6、为30m答案C根据v=v0+at,比较v=(2t+4)m/s得质点运动的初速度为4m/s,加速度为2m/s2,所以选项A、B错误;在3s末,质点的瞬时速度为vt=23m/s+4m/s=10m/s,所以选项C正确;前3s内,质点的位移x=vt2-v022a=102-4222m=21m,选项D错误。2.速度推论式的应用某质点从静止开始做匀加速直线运动,已知第3秒内通过的位移是x(单位:m),则质点运动的加速度为()A.3x2(m/s2)B.2x3(m/s2)C.2x5(m/s2)D.5x2(m/s2)答案C由匀变速直线运动规律知第3秒内的平均速度等于t=2.5s时的瞬时速度,得a=x2.5(m/s
7、2)=2x5(m/s2),C对。3.位移速度关系式高速公路的ETC电子收费系统如图所示,ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某人驾驶汽车以6m/s的速度匀速进入识别区,ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签,识别完成后发出“滴”的一声,司机发现自动栏杆没有抬起,于是采取制动刹车,汽车刚好紧贴栏杆停下。已知司机的反应时间为0.7s,刹车时的加速度大小为5m/s2,则该ETC通道的长度约为()A.3.6mB.5.4mC.6.0mD.9.6m答案D在反应时间内,汽车做匀速运动,位移x1=v(t1+t2)=6(0.3+0.7)m=6m,刹车后汽车做匀减速运动,位移x2=v22a=3
8、.6m,汽车运动的位移x=x1+x2=9.6m,所以该ETC通道的长度约为9.6m,D正确。1.基本思路画过程示意图判断运动性质选取正方向选用公式列方程解方程并加以讨论2.对于运动学公式的选用题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题而设定的中间量)没有涉及的物理量适宜选用的公式v0、v、a、txv=v0+atv0、a、t、xvx=v0t+12at2v0、v、a、xtv2-v02=2axv0、v、t、xax=v+v02t3.运动学公式中正、负号的规定直线运动可以用正、负号表示矢量的方向,一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,与初速度同向的物理量取正值,反向的物理量取负值;当v0=0时
9、,一般以a的方向为正方向。4.平均速度与瞬时速度的互换在匀变速直线运动中,全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,即v=vt2。利用好这一关系,可以实现平均速度与瞬时速度的互换,求解问题能起到事半功倍的效果。5.匀减速直线运动到速度为零后即停止运动,加速度a突然消失,求解时要注意先确定其实际运动时间。考点二解决匀变速直线运动的常用方法例1物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,斜面总长度为l,到达斜面最高点C时速度恰好为零,如图。已知物体上滑到距斜面底端A点34l处的B点时,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间。解题指导本题可运用“逆向思维法”“基本公式法”“位移比例法”“时间比例法”“中间时
10、刻速度法”“图像法”等方法解题。答案见解析解析解法一逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面,可逆向看成向下匀加速滑下斜面。故xBC=atBC22,xAC=a(t+tBC)22,又xBC=xAC4由以上三式解得tBC=t解法二基本公式法因为物体沿斜面向上做匀减速运动,设物体从B滑到C所用的时间为tBC,由匀变速直线运动的规律可得v02=2axACvB2=v02-2axABxAB=34xAC由式解得vB=v02又vB=v0-atvB=atBC由式解得tBC=t解法三位移比例法对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为x1x2x3xn=135(2n-1)。因为xCBxBA=xAC4
11、3xAC4=13,而通过xBA的时间为t,所以通过xBC的时间tBC=t解法四时间比例法对于初速度为零的匀加速直线运动,通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1t2t3tn=1(2-1)(3-2)(n-n-1)现将整个斜面分成相等的四段,如图所示,设通过BC段的时间为tx,那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD=(2-1)tx,tDE=(3-2)tx,tEA=(2-3)tx,又tBD+tDE+tEA=t,解得tx=t解法五中间时刻速度法利用推论:匀变速直线运动中,中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度,vAC=v0+v2=v02。又v02=2axAC,vB2=2axBC,xBC=xAC
12、4。由以上三式解得vB=v02。vB正好等于AC段的平均速度,因此B点对应中间时刻,因此有tBC=t解法六图像法根据匀变速直线运动的规律,作出v-t图像,如图所示。利用相似三角形的规律,面积之比等于对应边长的二次方之比,得SAOCSBDC=CO2CD2,且SAOCSBDC=41,OD=t,OC=t+tBC所以41=(t+tBC)2tBC2,解得tBC=t解题感悟解决匀变速直线运动相关问题的常用方法1.平均速度法物体做匀加速直线运动,相继经过两段距离为16m的路程,第一段用时4s,第二段用时2s,则物体的加速度是()A.23m/s2B.43m/s2C.89m/s2D.169m/s2答案B根据题意
13、,物体做匀加速直线运动,t时间内的平均速度等于t2时刻的瞬时速度,在第一段内中间时刻的瞬时速度v1=v1=164m/s=4m/s,在第二段内中间时刻的瞬时速度v2=v2=162m/s=8m/s,则物体的加速度a=v2-v1t=8-43m/s2=43m/s2,故选项B正确。2.逆向思维法(2020江苏南京模拟)做匀减速直线运动的物体经4s停止,若在第1s内的位移是14m,则最后1s内位移是()A.3.5mB.2mC.1mD.0答案B利用“逆向思维法”,把物体的运动逆向看成初速度为零的匀加速直线运动,则做匀减速直线运动的物体在每1s内的位移之比为7531,所以71=14mx1,x1=2m,选项B正
14、确。3.比值法(2020江苏南京南师附中模拟)一旅客在站台8号车厢候车线处候车,若动车一节车厢长25m,动车进站时可以看做匀减速直线运动。他发现第6节车厢经过他时用了4s,动车停下时旅客刚好在8号车厢门口(8号车厢最前端),则该动车的加速度大小约为()A.2m/s2B.1m/s2C.0.5m/s2D.0.2m/s2答案C采用逆向思维法,动车做初速度为零的匀加速直线运动,通过连续相等位移所用的时间之比为1(2-1)(3-2),可知第7节车厢和第6节车厢通过他的时间之比为1(2-1),所以第7节车厢通过他的时间为t=4(2+1)s,根据L=12at2得加速度大小a=2Lt2=225(42+4)2m
15、/s20.5m/s2。故选C。考点三自由落体运动和竖直上抛运动1.自由落体运动的特点(1)自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动,特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式,在自由落体运动中应用更频繁。2.竖直上抛运动的两种研究方法(1)分段法:将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。(2)全程法:将全过程视为初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v0时,物体正在上升;v0时,物体在抛出点上方;h0时,物体在抛出点下方。例2研究人员为检验
16、某一产品的抗撞击能力,乘坐热气球并携带该产品竖直升空,当热气球以10m/s的速度匀速上升到某一高度时,研究人员从热气球上将产品自由释放,测得经11s产品撞击地面。不计产品所受的空气阻力,求产品的释放位置距地面的高度。(g取10m/s2)审题关键(1)产品脱离热气球后,做什么性质的运动?提示:竖直上抛运动(2)根据已知量和未知量选择哪种研究方法求解?提示:全程法或分段法解题指导本题可运用“分段法”和“全程法”解题。答案495m解析解法一分段法根据题意画出运动草图如图甲所示。将产品的运动过程分为AB和BCD两段来处理。AB为竖直方向匀减速运动,BCD为自由落体运动在AB段,根据匀变速运动规律可知t
17、AB=v0g=1shAB=hBC=12gtAB2=5m由题意可知tBD=11s-1s=10s根据自由落体运动规律可得hBD=12gtBD2=500m故释放点离地面的高度H=hBD-hBC=495m解法二全程法将产品的运动视为匀变速直线运动,根据题意画出运动草图如图乙所示规定向上为正方向,则v0=10m/s,a=-g=-10m/s2根据H=v0t+12at2解得H=-495m即产品刚释放时离地面的高度为495m解题感悟掌握竖直上抛运动的四个特性(1)时间对称性:物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相等,同理有tAB=tBA。(2)速度对称性物体上抛时的初速度与物
18、体落回抛出点时的速度大小相等、方向相反;物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反。(3)能量对称性:竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等。(4)多解性:在竖直上抛运动中,当物体经过抛出点上方某一位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下落阶段,因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解,也可能造成路程多解。1.自由落体运动(2020江苏徐州模拟)为了能够方便测出人的反应时间,某研究小组制作了“反应时间测量尺”,其使用方法:甲同学捏住测量尺上端使其保持竖直,零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲释放测量尺时,立即用手指捏住,根据乙手
19、指所在测量尺的位置,直接读出反应时间。下列说法正确的是()A.“反应时间测量尺”A标度合理B.“反应时间测量尺”B标度合理C.“反应时间测量尺”下降的距离与时间成正比D.用钢尺和塑料尺制成的测量尺刻度明显不同答案B由题意可知,手的位置在开始时应放在零刻度线处,所以零刻度要在下边。测量尺做自由落体运动的位移h=12gt2,位移与时间的二次方成正比,所以随时间的增大,测量尺下落的速度增大,相等时间内下落高度增大,测量尺上的间距增大,B标度合理,故选项A、C错误,选项B正确;因为测量尺做自由落体运动,故用钢尺和塑料尺制成的测量尺刻度是相同的,选项D错误。2.竖直上抛运动(2019课标,18,6分)如
20、图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个H4所用的时间为t1,第四个H4所用的时间为t2。不计空气阻力,则t2t1满足()A.1t2t12B.2t2t13C.3t2t14D.4t2t15答案C运动员离地后做竖直上抛运动,则可以按其逆过程自由落体运动计算,将H分为相等的4段,通过各段所用时间由上至下分别为T1、T2、T3、T4,则满足T1T2T3T4=1(2-1)(3-2)(2-3),则t2t1=12-3=2+3,则3t2t1|vB|=|vD|vC|,故A正确,B、C、D错误。2.(2020江苏如皋中学检测)汽车在水平地面上因故刹车,可以看做是匀减速直线运动
21、,其位移与时间的关系x=16t-2t2(m),则它在停止运动前最后1s内的平均速度为()A.6m/sB.4m/sC.2m/sD.1m/s答案C根据匀变速直线运动的位移时间关系x=v0t+12at2=16t-2t2,解得v0=16m/s,a=-4m/s2;采取逆向思维,汽车在停止运动前最后1s内的位移x=12at2=12412m=2m,停止运动前最后1s内的平均速度v=xt=21m/s=2m/s,故选C。3.(2020浙江嘉兴一模)据分析,某足球明星曾在某次头球破门时重心上升了71cm,估算此次头球破门时该球星离地的时间应为()A.0.75sB.0.38sC.0.27sD.0.54s答案A根据h
22、=12gt2,可得t=2hg=20.7110s0.377s,故全过程用时t=2t0.75s,故A正确,B、C、D错误。4.(2020四川眉山模拟)如图所示,小球A在斜面上由静止匀加速滚下x1后,又在水平面上匀减速运动x2后停下,测得x2=2x1,则小球在斜面上的加速度大小a1与在水平面上的加速度大小a2的关系为(小球从斜面上滚到水平面上时速度大小不变)()A.a1=a2B.a1=2a2C.a1=12a2D.a1=4a2答案B5.(2020四川眉山模拟)假设列车经过铁路桥的全过程都做匀减速直线运动。已知某列车长为L,通过一铁路桥时的加速度大小为a,列车全长通过桥头的时间为t1,列车全长通过桥尾的
23、时间为t2,则列车车头通过铁路桥所需的时间为()A.Lat2-t1t1t2B.Lat2+t1t1t2C.Lat2-t1t1t2-t2-t12D.Lat2-t1t1t2+t2-t12答案C设列车车头通过铁路桥所需要的时间为t0,从列车车头到达桥头时开始计时,列车全长通过桥头时的平均速度等于12t1时刻的瞬时速度v1,则v1=Lt1;列车全长通过桥尾时的平均速度等于t0+12t2时刻的瞬时速度v2,则v2=Lt2;由匀变速直线运动的速度公式可得v2=v1-at0+12t2-12t1,解得t0=Lat2-t1t1t2-t2-t12。6.(2020全国4月大联考)一物体从空中自由下落至地面,若其最后1
24、s的位移是第1s位移的n倍,忽略空气阻力,则物体下落时间是()A.(n+1)sB.(n-1)sC.n+12sD.n-12s答案C自由落体运动第1s下落的位移h1=12gt12,其中t1=1s最后1s下落的位移h=12gt2-12g(t-1s)2=nh1解得t=n+12s。7.(2020浙江宁波期中)高空坠物已经成为城市中仅次于交通肇事的伤人行为。某市曾出现一把明晃晃的菜刀从高空坠落,“砰”的一声砸中了停在路边的一辆摩托车的前轮挡泥板。假设该菜刀可以看成质点,且从15层楼的窗口无初速度坠落,则从菜刀坠落到砸中摩托车挡泥板的时间最接近()A.1sB.3sC.5sD.7s答案B设楼层高为3m,则菜刀
25、下落的高度h=(15-1)3m=42m,下落过程视为自由落体运动,根据h=12gt2,解得t=2hg=24210s2.9s,时间最接近3s,故B正确。8.(2020广东深圳模拟)地铁有效率高、运量大、无污染等特点,已成为人们不可或缺的城市公共交通工具。某次列车进站时,匀减速通过静止在站台上等车的某同学,列车停止时该同学恰好正对着最后一节车厢的最末端。该同学发现列车共有6节,若每节车厢的长度均相同,从第1节到第6节车厢通过该同学的时间分别为t1、t2、t3、t4、t5、t6,则以下正确的是()A.t1t2=1(2-1)B.t5t6=21C.t6t1=(5+6)1D.t3t4=(3-2)(2-1)
26、答案C末速度为零的匀减速直线运动,根据逆向思维,可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动,根据比例t1t2t3t4t5t6=(6-5)(5-4)(4-3)(3-2)(2-1)1,可知A、B、D错误,C项正确。9.(2020广东广州一模)如图,装备了“全力自动刹车”安全系统的汽车,当车速v满足3.6km/hv36km/h且与前方行人之间的距离接近安全距离时,如果司机未采取制动措施,系统就会立即启动“全力自动刹车”,使汽车避免与行人相撞。若该车在不同路况下“全力自动刹车”的加速度取值范围是46m/s2,则该系统设置的安全距离约为()A.0.08mB.1.25mC.8.33mD.12.5m答案D由题
27、意知,3.6km/hv36km/h,即1m/sv10m/s,系统立即启动“全力自动刹车”的加速度大小为46m/s2,最后末速度减为0,由推导公式v2=2ax可得xv22a=10224m=12.5m,故D正确。10.(2019江苏苏州模拟)一物体做匀变速直线运动,在通过第一段位移x1的过程中,其速度变化量为v,紧接着通过第二段位移x2,速度变化量仍为v。则关于物体的运动,下列说法正确的是()A.第一段位移x1一定大于第二段位移x2B.两段运动所用时间一定不相等C.物体运动的加速度为(v)2x2-x1D.通过两段位移的平均速度为(x2+x1)vx2-x1答案C设通过第一段位移的末速度为v,则有通过
28、第一段位移的初速度为v-v,通过第二段位移的末速度为v+v,根据运动学公式有(v+v)2-v2=2ax2,v2-(v-v)2=2ax1,解得a=(v)2x2-x1。若物体做匀加速直线运动,则有x2x1,故选项A错误,C正确;根据a=vt得,通过两段位移所用时间一定相等,故选项B错误;通过两段位移的平均速度为v=x1+x22t=(x1+x2)v2(x2-x1),故选项D错误。11.(2020安徽黄山质检)如图所示,一长为200m的列车沿平直的轨道以80m/s的速度匀速行驶,当车头行驶到进站口O点时,列车接到停车指令,立即匀减速停车,因OA段铁轨不能停车,整个列车只能停在AB段内,已知OA=120
29、0m,OB=2000m,求:(1)列车减速运动的加速度大小的取值范围;(2)列车减速运动的最长时间。答案(1)85m/s2a167m/s2(2)50s解析(1)列车做减速运动到速度为0的过程中,刹车位移x=v022a。当位移最小时,加速度最大amax=v022xmin=8022(1200+200)m/s2=167m/s2位移最大时,加速度最小amin=v022xmax=80222000m/s2=85m/s2所以加速度大小的取值范围是85m/s2a167m/s2。(2)由速度公式v=v0-at可知,列车减速到速度为0的时间t=0-v0-a,可知加速度最小时,列车减速运动的时间最长,则tmax=v
30、0amin=50s。B组综合提升12.一物体以5m/s的初速度在光滑斜面上向上做匀减速运动,其加速度大小为2m/s2,设斜面足够长,经过t时间物体位移大小为4m,则时间t不可能为()A.1sB.3sC.4sD.5+412s答案B以沿斜面向上为正方向,当物体的位移为4m时,根据x=v0t+12at2得4=5t-122t2,解得t1=1s,t2=4s,当物体的位移为-4m时,根据x=v0t+12at2得-4=5t-122t2,解得t3=5+412s(另一解为负,舍去),故B符合题意。13.(2020课标,24,12分)我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用F=kv2描写,k为系
31、数;v是飞机在平直跑道上的滑行速度,F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为1.21105kg时,起飞离地速度为66m/s;装载货物后质量为1.69105kg,装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。(1)求飞机装载货物后的起飞离地速度;(2)若该飞机装载货物后,从静止开始匀加速滑行1521m起飞离地,求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。答案(1)78m/s(2)2.0m/s239s解析(1)设飞机装载货物前质量为m1,起飞离地速度为v1;装载货物后质量为m2,起飞离地速度为v2,重力加速度大小为g。飞机起飞离地应满足条件m1g=kv12m2g=kv22由式及题给条件得v2=78m/s(2)设飞机滑行距离为s,滑行过程中加速度大小为a,所用时间为t。由匀变速直线运动公式有v22=2asv2=at联立式及题给条件得a=2.0m/s2t=39s
