1、专题突破练10专题二函数与导数过关检测一、选择题1.已知函数f(x)=11-x的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则MN=()A.x|x-1B.x|x1C.x|-1x1D.2.(2019全国卷1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca3.(2019全国卷1,文5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-,的图象大致为()4.已知f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x0时,f(x)=()A.-x3-ln(1-x)B.x3+ln(1-x)C.x3-ln(1-x)D.-x
2、3+ln(1-x)5.(2019全国卷3,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为()A.2B.3C.4D.56.(2019全国卷2,文6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)+f(x)x0,若a=12f12,b=-2f(-2),c=ln12fln12,则a,b,c的大小关系正确的是()A.acbB.bcaC.abcD.caf(2-32)f(2-23)B.flog314f(2-23)f(2-32)C.f(2-32)f(2-23)flog314D.f(2-23)f(2-32)flog314二、填空题13.(2019全国卷1,文13)曲
3、线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.14.已知曲线y=x24-3ln x的一条切线的斜率为-12,则切点的横坐标为.15.(2019全国卷2,理14)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)1-x恒成立,求实数a的取值范围.18.(2019山西运城二模,文21)已知函数f(x)=xex-a(ln x+x),aR.(1)当a=e时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.19.(2019全国卷1,文20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f(x)为f(x)的导数.(1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点;(2)若x0,时,f
4、(x)ax,求a的取值范围.20.(2019山东泰安二模,文20)已知函数f(x)=(x-m)ln x(m0).(1)若函数f(x)存在极小值点,求m的取值范围;(2)当m=0时,证明:f(x)ex-1.21.(2019山东青岛二模,文21)已知函数g(x)=lnxx-m(m0),h(x)=2x+m.(1)若g(x)在区间(0,e2上单调递增,求实数m的取值范围;(2)若m=-1,且f(x)=g(x)h(x),求证:对定义域内的任意实数x,不等式f(x)0,得M=x|x0,得N=x|x-1,MN=x|-1x1.2.B解析 因为a=log20.220=1,又00.20.30.20=1,即c(0,
5、1),所以ac1,f()=-1+20,排除B,C.故选D.4.C解析 当x0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)3+ln(1-x),f(x)=x3-ln(1-x).5.B解析 由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x=0或cos x=1.x0,2,x=0或x=或x=2.故f(x)在区间0,2上的零点个数是3.故选B.6.D解析 f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1
6、.故选D.7.C解析 由题意可知,f(x)在0,+)内单调递增,在(-,0)内单调递增.因为f(x)在区间(-,+)上是增函数,所以a2-3a+20,解得1a2.8.C解析 定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数.f(x)=f(x+4),函数f(x)为周期为4的周期函数.又log232log220log216,4log220-1时,f(x)0,函数f(x)递增;当x-1时,f(x)0时,f(x)+f(x)x0,当x0时,h(x)=f(x)+xf(x)0,函数h(x)在区间(0,+)内单调递增.a=12f12=h12,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c
7、=ln12fln12=hln12=h(-ln 2)=h(ln 2),且2ln 212,bca.12.C解析 f(x)是R上的偶函数,flog314=f(-log34)=f(log34).又y=2x在R上单调递增,log341=202-232-32.又f(x)在区间(0,+)内单调递减,f(log34)f(2-23)f(2-23)flog314.故选C.13.y=3x解析 由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.14.2设切点坐标为(x0,y0),且x00,y=12x-3x
8、,k=12x0-3x0=-12,x0=2.15.-3解析 ln 2(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,f(-ln 2)=-8.当x0时,f(x)=-eax,f(-ln 2)=-e-aln 2=-8,e-aln 2=8,-aln 2=ln 8,-a=3,a=-3.16.18因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,g(x)=2x-1x-1=1x-1+2关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+x6)+(y1+y2+y6)=23+43=18.故答案为18.17.(1)证明 f(x)=ex-2x-a,令g
9、(x)=ex-2x-a,则g(x)=ex-2.则当x(-,ln 2)时,g(x)0.所以函数g(x)在x=ln 2时取最小值,即f(x)在x=ln 2时取最小值,所以f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2-a.又a2-2ln 2,所以f(x)min0.故当a2-2ln 2时,导函数f(x)的最小值不小于0.(2)解 当x0时,ex-x2-ax1-x,即aexx-x-1x+1.令h(x)=exx-x-1x+1(x0),则h(x)=ex(x-1)-x2+1x2=(x-1)(ex-x-1)x2.令(x)=ex-x-1(x0),则(x)=ex-10.当x(0,+)时,(x)单调递增,(x)(0
10、)=0.则当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(1)=e-1,所以ae-1.所以实数a的取值范围为(-,e-1.18.解 (1)f(x)定义域为(0,+),当a=e时,f(x)=(1+x)(xex-e)x.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在(0,1)上为减函数;在(1,+)上为增函数.(2)记t=ln x+x,则t=ln x+x在(0,+)上单调递增,且tR.f(x)=xex-a(ln x+x)=et-at=g(t).f(x)在(0,+)上有两个零点等价于g(t)=et-at在tR上有两个零点.当a=0时,g(t)=et在R上单调递增,且g(t)
11、0,故g(t)无零点;当a0恒成立,g(t)在R上单调递增,又g(0)=10,g1a=e1a-10时,由g(t)=et-a=0可知g(t)在t=ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)=a(1-ln a),若0a0,g(t)无零点;若a=e,g(t)极小值=0,g(t)只有一个零点;若ae,g(t)极小值=a(1-ln a)0,由y=lnxx在(e,+)上为减函数,可知当ae时,eaaea2,从而g(a)=ea-a20,g(t)在(0,ln a)和(ln a,+)上各有一个零点.综上可知,当ae时,f(x)有两个点,故所求a的取值范围是(e,+).19.(1)证明 设g(x)=f(x),则g
12、(x)=cos x+xsin x-1,g(x)=xcos x.当x0,2时,g(x)0;当x2,时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)存在唯一零点.所以f(x)在(0,)存在唯一零点.(2)解 由题设知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减.又f(0)=0,f()=0,所以,当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(-,0.20.(1)解 函数的定义域为(0,+),f(
13、x)=x-mx+ln x=1-mx+ln x.当m=0时,f(x)=0得x=1e,当x0,1e时,f(x)0,x=1e是函数f(x)的极小值点,满足题意.当m0时,令g(x)=f(x),g(x)=mx2+1x=x+mx2.令g(x)=0,解得x=-m.当x(0,-m)时,g(x)0.g(x)min=g(-m)=2+ln(-m),若g(-m)0,即m-e-2,则f(x)=g(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增,无极值点,不满足题意.若g(-m)=2+ln(-m)0,即-e-2m0,g(-m)g(1-m)0.又g(x)在(-m,+)上单调递增,g(x)在(-m,+)上恰有一个零点x1.当
14、x(-m,x1)时,f(x)=g(x)0,x1是f(x)的极小值点,满足题意,综上,-e-20,xln x0,f(x)(1)=e-10,(x)在(1,+)上单调递增,h(x)=(x)(1)=e-10,h(x)在(1,+)上单调递增,h(x)h(1)=e-10,当x1时,xln xex-1成立,综上,f(x)ex-1.21.(1)解 由已知g(x)=lnxx-m(m0)的定义域为(0,+),所以g(x)=(lnx)(x-m)-lnx(x-m)(x-m)2=1-mx-lnx(x-m)2.因为g(x)在(0,e2上单调递增,所以对任意x(0,e2,都有g(x)=1-mx-lnx(x-m)20.所以1
15、-mx-ln x0,所以mx1-ln x,即mx(1-ln x).令h(x)=x(1-ln x),h(x)=-ln x,所以当0x0.当x=1时,h(1)=0,当x1时,h(x)0,所以函数h(x)=x(1-ln x)在(0,1)上单调递增,在(1,e2上单调递减.当0x0,所以h(x)min=h(e2)=e2(1-ln e2)=-e2,所以m-e2,故实数m的取值范围是(-,-e2.(2)证明 当m=-1时,f(x)=g(x)h(x)=lnxx+12x-1=2lnxx2-1,对定义域内的任意正数x,不等式f(x)1x恒成立,即对定义域内的任意正数x,2lnxx2-11时,x2-10;当0x1
16、时,x2-11时,2xln xx2-1;当0xx2-1.令G(x)=x2-1-2xln x,所以G(x)=(x2-1-2xln x)=2x-(2xln x)=2x-2ln x-2=2(x-ln x-1).令m(x)=x-ln x-1,则m(x)=(x-ln x-1)=1-1x=x-1x.所以x=1是m(x)的极值点,从而m(x)有极小值m(1)=0,所以G(x)=2(x-ln x-1)0恒成立.所以G(x)=x2-1-2xln x在(0,+)上单调递增.又因为G(1)=0,所以当x1时,G(x)=x2-1-2xln x0,即2xln xx2-1恒成立;当0x1时,G(x)=x2-1-2xln xx2-1恒成立.所以,对定义域内的任意实数x,不等式2lnxx2-11x恒成立.
