1、第七讲抛物线A组基础巩固一、单选题1(2021河北邯郸质检)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|6，则抛物线C的方程为(D)Ay22xBy24xCy28xDy216x解析设抛物线的准线为l，作MM直线l于点M，交y轴于M，由抛物线的定义可得：MMMF6，结合xM2可知：MM624，即4，2p16，据此可知抛物线的方程为：y216x.选D.2(2021山东济宁期末)抛物线y4x2的准线方程是(A)AyByCx1Dx1解析抛物线标准方程为x2y，p，准线方程为y，即y，故选A.3(2021山西八校联考)斜率为的直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F
2、，若直线l与圆M：(x2)2y24相切，则p(A)A12B8C10D6解析抛物线C：y22px(p0)的焦点F，直线l的方程为yx，又直线l与圆M：(x2)2y24相切，可得2，解得p12，故选A.4(2020北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线(B)A经过点OB经过点PC平行于直线OPD垂直于直线OP解析由抛物线定义知|PQ|PF|，FQ的垂直平分线必过P，故选B.5(2021陕西西安一中调研)已知F为抛物线C：y28x的焦点，M为C上一点，且|MF|4，则M到x轴的距离为(A)A4B4C8D16解析设M(x1，y1
3、)，由抛物线性质得：x1422，y8216|y1|4，故M到x的距离为4，故选A.6(2021安徽皖南八校联考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，且焦距为2，则抛物线y22bx的准线方程为(B)AxBxCyDy解析由题意a2b223，b.抛物线y22bx的准线方程为x.故选B.7(2021福建龙岩质检)已知点A在圆(x2)2y21上，点B在抛物线y28x上，则|AB|的最小值为(A)A1B2C3D4解析由题得圆(x2)2y21的圆心为(2,0)，半径为1.抛物线y28x的焦点C(2,0)，则|BC|x2，|BC|min2，|AB|min211，故选A.8(2021广东肇庆统测)抛
4、物线方程为x24y，动点P的坐标为(1，t)，若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为(A)ABC2D2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)，所以k，故选A.9(2021江苏高邮一中检测)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(3,2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于(B)A12B13C14D1解析F(1,0)，kl，l：y(x1)，由解得xN，xM3，.故选B.10已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(D)ABC1D2解析如图F为
5、抛物线的焦点，则|FA|FB|AB|6(当且仅当A、F、B共线时取等号)，即yAyB26，2，故选D.二、多选题11(2021山东烟台期末)已知抛物线C：y24x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则(ABC)A若x1x26，则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M(0,1)，则|PM|PP1|D过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条解析对于选项A，因为p2，所以x1x22|PQ|，则|PQ|8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形
6、性质可得NN1，故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF|，故C正确；对于选项D，显然直线x0，y1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为ykx1，联立，可得k2x2(2k4)x10，令0，则k1，所以直线yx1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选ABC12(2021广东调研)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若ABD90，且ABF的面积为9，则(BCD)A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x解析如图，由题意知
7、|AB|2|FH|2p，xA，从而yAp，又SABF|AB|yAp29，p3，C的方程为y26x，D正确，C正确，|BF|AF|2p6，A错，又|AB|2p6，ABF为等边三角形，B正确，故选BCD.三、填空题13(2020海南)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|.解析由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y(x1)，代入y24x并化简得3x210x30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由抛物线的定义知|AB|x1x2p2.14(2021河北石家庄质检)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)，线段FA与抛物线交于点
8、B，且2，则|BF|.解析由题意知F，又A(0,2)，且2，B，22p，解得p，|BF|.四、解答题15(2021湖北宜昌部分示范高中协作体联考)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1y2的值及直线AB的斜率解析(1)设抛物线解析式为y22px，把(1,2)的坐标代入得p2，抛物线解析式为y24x，准线方程为x1.(2)直线PA和PB的倾斜角互补，kPAkPB0，0，0，y1y24，kAB1.16已知动点P到定直线l：x2的距离比到定点F的距
9、离大.(1)求动点P的轨迹C的方程；(3)过点D(2,0)的直线交轨迹C于A，B两点，直线OA，OB分别交直线l于点M，N，证明以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值，并求出此定值解析(1)解法一：设点P的坐标为(x，y)，因为定点F在定直线l：x2的右侧，且动点P到定直线l：x2的距离比到定点F的距离大，所以x2且|x2|，化简得x，即y22x，轨迹C的方程为y22x.解法二：由题意可知动点P到直线l：x的距离与到定点F的距离相等，轨迹C是以F为焦点l为准线的抛物线，显然，即p1，轨迹C的方程为y22x.(2)证明：设A(2t，2t1)，B(2t，2t2)(tt20)，则(2t2,2t1)，
10、(2t2,2t2)A，D，B三点共线，2t2(2t2)2t1(2t2)，(t1t2)(t1t21)0，又t1t2，t1t21，直线OA的方程为yx，令x2，得M.同理，可得N.所以以MN为直径的圆的方程为(x2)(x2)0，即(x2)2y220.将t1t21代入上式，可得(x2)2y22(t1t2)y40，令y0，得x0或x4，故以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值4.B组能力提升1(2021河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(D)A mB mC
11、mD m解析建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线的解析式为x22py(p0)，抛物线过点(6，5)，3610p，可得p，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m，故选D.2(2021云南适应性考试)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：xy20对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(A)A(1，1)B(2,0)CD(1,1)解析因为焦点到准线的距离为p，则p1，所以y22x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)则，则(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，kPQ，又P，Q关于直线l对称kPQ1，即y1y22，1，又PQ的中点一定在直线l上
12、，21.线段PQ的中点坐标为(1，1)故选：A.3(2021云南师大附中月考)如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是(C)A(2,6)B(6,8)C(8,12)D(10,14)解析抛物线的准线l：x2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|xA2，圆(x2)2y216的圆心为(2,0)，半径为4，三角形FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，则xB(2,6)，所以6xB(8,12)，故选 C
13、4(2021益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为(C)A5B6CD解析如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.故选 C另解：因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.故选 C5(2021山东省临沂市期末
14、)如图，已知点F为抛物线C：y22px(p0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45时，|MN|16.(1)求抛物线C的方程；(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)当直线l的倾斜角为45，则l的斜率为1，F，l的方程为yx.由得x23px0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x23p，|MN|x1x2p4p16, p4，抛物线C的方程为y28x.(2)假设满足条件的点P存在，设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，由得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)24k24k264k2640，x1x2，x1x24.直线PM，PN关于x轴对称，kPMkPN0，kPM，kPN.k(x12)(x2a)k(x22)(x1a)k2x1x2(a2)(x1x2)4a0，a2时，此时P(2,0)当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可综上，存在唯一的点P(2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称
