1、31.5空间向量运算的坐标表示内容标准学科素养1.掌握空间向量运算的坐标表示2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.应用直观想象提升逻辑推理和数学运算 授课提示：对应学生用书第63页基础认识知识点一空间向量线性运算的坐标表示(1)已知向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，如何表示ab，ab，a，ab，|a|.提示：ab(a1b1，a2b2)ab(a1b1，a2b2)a(a1，a2)aba1b1a2b2，|a|.(2)如果ab(b0)，则a，b坐标满足什么关系，ab呢？提示：a1b2a2b10a1b1a2b20. 知识梳理空间向
2、量的坐标运算法则设向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，R，那么向量运算向量表示坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)数量积aba1b1a2b2a3b3知识点二空间向量平行与垂直条件的坐标表示知识梳理若向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；(2)abab0a1b1a2b2a3b30.知识点三空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示知识梳理若向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)|a|；(2)cosa，b；(3)若A(a1
3、，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离为dAB|.自我检测1已知空间向量m(1，3,5)，n(2,2，4)，则有mn_，3mn_，(2m)(3n)_.答案：(1，1,1)(5，11,19)1682已知空间向量a(2，1)，b(，8，6)，若ab，则_，若ab，则_.答案：43已知a(，2，)，b(3，6,0)，则|a|_，a与b夹角的余弦值等于_答案：3授课提示：对应学生用书第63页探究一空间向量的坐标运算教材P97练习1已知a(3,2,5)，b(1,5，1)求：(1)ab；(2)3ab；(3)6a；(4)ab.解析：(1)ab(2,7,4)(2)3ab(10,1,16)
4、(3)6a(18,12,30)(4)ab2.例1(1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(2a3b)(a2b)_.(2)已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b等于()A.B.C. D.解析(1)法一：(2a3b)(a2b)(26，13，2)(8,4，8)244.法二：(2a3b)(a2b)2a2ab6b223622649244.(2)ab(2，2)，ab(0，0)，a(1，)，b(1,0，)，ab4，|a|，|b|2，cosa，b.故选C.答案(1)244(2)C方法技巧1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向
5、量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.跟踪探究1.若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.解析：(ca)(2b)2，2bc2ab2，即82(3x)2.x2.答案：2探究二空间向量平行、垂直的坐标表示阅读教材P96例6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证EFDA1.题型：用向量法证明垂直关系方法步骤：建立空间直角坐标系，写出点E，F，D，A1的坐标；求出向量，的坐标；求出0，因此EFD
6、A1.例2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)设向量c，试判断2ab与c是否平行？(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.解析(1)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以2ab(3,2，2)，又c，所以2ab2c，所以(2ab)c.(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或.方法技巧1.平行与垂直的判断(1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线
7、(2)判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.2平行与垂直的应用(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的跟踪探究2.已知空间向量a(1,2，3)，b(2，4，x)，c(4，y,6)(1)若ma，且|m|2，求向量m；(2)若ac，求实数y的值；(3)若(2ab)(a3b)，求实数x的值解析：(1)由于ma，可设ma(1,2，3)(，2，3)因为|m|2，所以2，即22，解得.故m(，2，3)或m(，2，3)(2)因为ac，所以ac0，即42y180，解得y11.(3)由已知得2a
8、b(4,8，6x)，a3b(5，10，3x3)，而(2ab)(a3b)，所以，解得x6.探究三空间向量的夹角与长度的计算阅读教材P96例5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成角的余弦值题型：利用数量积求异面直线所成的角方法步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系(2)写出和的坐标，并求出及|，|.(3)由cos，从而求BE1与D1F所成角的余弦值例3棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点(1)求证：EFCF；(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长解析(1
9、)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G.所以，.因为00，所以，即EFCF.(2)因为10，|，|，所以cos，.又因为异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.(3)|CE|.方法技巧通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题跟踪探究3.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱
10、)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1,1，2)，(0，1，2)，(1)01(1)(2)(2)3.又|，|，cos，.又异面直线所成角为锐角或直角，故A1B与B1C所成角的余弦值为.授课提示：对应学生用书第64页课后小结(1)空间向量的坐标运算与平面向量的
11、坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算(2)利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角(3)几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决素养培优1忽略向量的方向致误在ABC中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则ABC_.易错分析解答的错误是忽视向量的方向，事实上，ABC的大小不是向量，的夹角，而是向量，的夹角考查直观想象、逻辑推理的学科素养自我纠正(2，4,0)，(1,3,0)，cos，.ABC135.答案：1352忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误已知a(x，2,3)，b(3,1x，x)，且a与b的夹角为锐角，求实数x的取值范围易错分析若a，b的夹角为锐角，则ab0；若ab0，则有可能a与b同向考查逻辑推理的学科素养自我纠正因为a，b的夹角为锐角，所以ab0，即3x2(1x)3x8x20，则x.又当夹角为0时，存在0，使ba，所以解得x3，因此实数x的取值范围为(3，).
