1、 基础题组练1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A121 B123C231 D211解析：选B.法一：令ananbn，则a11，a23，a34，a47，得an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123.法二：由ab1，a2b23，得ab1，代入后三个等式中符合，则a10b10(a5b5)22a5b5123.2(2020安徽六校联考)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点第n个图形由正(n2)边形扩展而成，nN*，则第n个图形的顶点个数是()A(2n1)(2n2) B3(2n2)C2n(5n1) D(n
2、2)(n3)解析：选D.由题图我们可以得到，当n1时，顶点个数为1234，n2时，顶点个数为2045，n3时，顶点个数为3056，n4时，顶点个数为4267，由此我们可以推断：第n个图形共有(n2)(n3)个顶点，故选D.3(2020福建永春调研)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2BDBC.拓展到空间，在四面体ABCD中，AD平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是()ASSBCOSBCDBSSBODSBOCCSSDOCSBOCDSSABDSABC解析：选A.由已知，在平面几何中，若A
3、BC中，ABAC，ADBC，D是垂足，则AB2BDBC.可以类比这一性质，推理出：若三棱锥DABC中，AD平面ABC，AO平面BCD，O为垂足，如图所示，则(SABC)2SBCOSBCD.故选A.4甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班)抓完阄后，甲说：“我没抓到”乙说：“丙抓到了”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是()A甲 B乙C丙 D丁解析：选A.如果甲说的是真的，那么乙和丙说的都是假的，但由此推出丁说的是真的，与题意矛盾；如果甲说的是假的，即甲抓到了，那么丁说的就是真的，乙和丙说的就是假的
4、，符合题意故可以断定甲抓到了，值班的人是甲故选A.5桌上共8个球，甲、乙二人轮流取球，取到最后一球者胜利规则是：第一次取球至少1个，至多不超过总数的，每次取球的数量不超过前面一次且不少于前面取球数的.比如，前面一次甲取球3个，接着乙取球的数量为2或3.若甲先取球，甲为了有必胜的把握，第一次应取球的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.由题意可知，若甲先取1球，则乙取1球，以此类推，乙胜若甲先取2球，则乙只能取2球或1球，乙取2球时，甲只能取2球或1球，此时无论如何都是乙胜；乙取1球时，则甲取1球，以此类推，甲胜若甲先取4球，则乙可取完剩下的球，乙胜若甲先取3球，则乙只能取2球或3球，乙取2
5、球时，甲取1球，然后乙取1球，甲取1球，甲胜；乙取3球时，甲取完，甲胜综上可知，甲先取3球有必胜的把握6(2020西藏林芝一中调考)已知集合A，B与集合AB的对应关系如下表：A1，2，3，4，51，0，14，8B2，4，6，82，1，0，14，2，0，2AB1，3，5，6，822，0，2，8若A2 009，0，2 018，B2 009，0，2 019，试根据表中的规律写出AB_解析：由题意可知，集合AB是由AB中的元素去掉AB中的元素组成的，已知A2 009，0，2 018，B2 009，0，2 019，则AB2 009，0，2 018，2 019，AB2 009，0，则AB2 018，2 0
6、19答案：2 018，2 0197某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：“我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步”乙说：“我没有选修数学史”丙说：“我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的”由此可以判断乙选修的课程为_解析：由丙说的话，可知甲、乙两人至少选修了一门课程，且选修的课程中有一门课程是相同的，又甲比乙选修的课程多，且没有选修哲学初步，所以甲选修了文学与艺术和数学史又乙没有选修数学史，所以乙选修的课程为文学与艺术答案：文学与艺术8.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭
7、圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e_解析：设“黄金双曲线”的方程为1(a0，b0)，则B(0，b)，F(c，0)，A(a，0)在“黄金双曲线”中，因为，所以0.又(c，b)，(a，b)，所以b2ac.而b2c2a2，所以c2a2ac.在等号两边同除以a2，得e21e，解得e.答案：9设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解：f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1x21时，均有f(x1)f(x2).证
8、明：设x1x21，f(x1)f(x2).10给出下面的数表序列：表1表2表3113135 4 4812其中表n(n1，2，3，)有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解：表4为13574812 1220 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列综合题组练1“垛积术”是
9、我国古代数学的重要成就之一南宋数学家杨辉在详解九章算法中记载了“方垛”的计算方法：“果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积又加半为高，以乘下方为高积如三而一”意思是说，将果子以方垛的形式摆放(方垛即每层均为正方形，自下而上每层每边果子数依次递减1个，最上层为1个)，最下层每边果子数为14个，问共有多少个果子？计算方法用算式表示，为14(141).利用“方垛”的计算方法，可计算最下层每边果子数为14个的“三角垛”(三角垛即每层均为正三角形，自下而上每 层每边果子数依次递减1个，最上层为1个)共有果子数为()A420个 B560个C680个 D1 015个解析：选B.由题意知
10、，最下层每边为14个果子的“方垛”总的果子数的计算式为122214214(141)，所以可得最下层每边为n(nN+)个果子的“方垛”总的果子数的计算式为1222n2n(n1).最下层每边为n个果子的“三角垛”自上而下的第k(kn，kN+)层果子数为，所以n层“三角垛”总的果子数为13.因为131223n(n1)(121222n2n)(1222n2)(12n)n(n1)n(n1)(n2)，所以取n14，可得“三角垛”的果子总数为560个故选B.2(2020陕西第二次质检)一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，
11、那么以下推断中正确的是()A若n9，则乙有必赢的策略B若n7，则甲有必赢的策略C若n6，则甲有必赢的策略D若n4，则乙有必赢的策略解析：选A.若n9，则乙有必赢的策略(1)若乙抓1个球，甲抓1个球时，乙再抓3个球，此时剩余4个球，无论甲抓13的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；(2)若乙抓1个球，甲抓2个球时，乙再抓2个球，此时剩余4个球，无论甲抓13的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；(3)若乙抓1个球，甲抓3个球时，乙再抓1个球，此时剩余4个球，无论甲抓13的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球所以若n9，则乙有必赢的策略，故选A.3有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，
12、张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了”甲接着说：“哦，现在我也知道了”请问，张老师的生日是_解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月4
13、日答案：8月4日4我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定x2，则1_解析：1x，即1x，即x2x10，解得x1，x2，故1.答案：5.如图，在ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与CEF的周长相等将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性解：如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O
14、，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等下面证明该结论的正确性：设内切球半径为R，则VABEFD(SABDSABESADFS四边形BEFD)RVAEFC(SAECSACFSECF)R，即SABDSABESADFS四边形BEFDSAECSACFSECF，两边同加SAEF可得结论6我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数yf(x)(xD)，对任意x，y，D均满足ff(x)f(y)，当且仅当xy时等号成立(1)若定义在(0，)上的函数f(x)M，试比较f(3)f(5)与2f(4)的大小；(2)设函数g(x)x2，求证：g(x)M.解：(1)对于ff(x)f(y)，令x3，y5得f(3)f(5)2f(4)(2)证明：gg(x1)g(x2)0，当且仅当x1x2时取等号，所以gg(x1)g(x2)，所以g(x)M.