1、3.3三角恒等变换与解三角形命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2019全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12si
2、n C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.2.(2019北京15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin C=cbsin B=5
3、314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cos C=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=437.3.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12
4、,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.4.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(
5、2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.5.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(
6、舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.典题演练提能刷高分1.在ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2ABAC=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b=23,求ABC的面积.解(1)由已知2ABAC=a2-(b+c)2,得2bccos A=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4bccos A=-2bc,所以cos A=-12.又0A0,化简得12sin C-32
7、cos C=0,即tan C=3.因为0C0,sin B=cos A,即cos2-B=cos A.A(0,),2-B0,2,2-B=A,即A+B=2.C=2.(2)设BD=x,CB=a.ABC=3,ACB=2,AC=3a,AB=2a,AD=2a+x.SACD=12ACADsin A=123a(2a+x)12=343,即a(2a+x)=3.在BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosDBC,即x2+a2+ax=3.联立可解得x=a=1.即BD=1.命题角度2解三角形中的最值与范围问题高考真题体验对方向(2019全国18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知as
8、inA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故1
9、2a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.典题演练提能刷高分1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A.(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.解(1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则b2+c2-a22bc=12,即cos A=12.由于0A16,所以b2+c2的取值范围是(16,32.2.(2019北京房山高三模拟)已知在ABC中,a2+c2-ac=b2.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解(1)由余弦
10、定理得cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.因为角B为三角形的内角,故B=3.(2)由(1)可得A+C=-B=23,A=23-C.cos A+cos C=cos23-C+cos C=cos23cos C+sin23sin C+cos C=-12cos C+32sin C+cos C=32sin C+12cos C=cos6sin C+sin6cos C=sinC+6.0C23,6C+656.12sinC+61.故cos A+cos C的最大值是1.3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A.(1)求B的大小;(2
11、)求ABC面积的最大值.解(1)由2bcos B=acos C+ccos A,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin B,sin B0,cos B=12,B=3.(2)方法一:由b=2,B=3,根据余弦定理可得ac=a2+c2-4,由基本不等式可得ac=a2+c2-42ac-4,所以ac4,当且仅当a=c时,等号成立.从而SABC=12acsin B12432=3,故ABC面积的最大值为3.方法二:因为asinA=bsinB=csinC=232=43,所以a=43sin A,c=43sin C,S=12acsin B=1243sin A43sin Csi
12、n B=433sin Asin23-A=233cos2A-23+33,当2A-23=0,即A=3时,Smax=3,故ABC面积的最大值为3.4.(2019山西太原高三期末)已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边,bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,bsin A=acosB-6,asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,整理得tan B=3,B(0,),B=3.(2)由(1)及正弦定理,得4=a2+c2-2accos3,即ac=a2
13、+c2-4,a2+c22ac,当且仅当a=c时等号成立,ac2ac-4,解得ac4,SABC=12acsin B12432=3(当且仅当a=c时等号成立).故ABC面积的最大值为3.5.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan A=3(ccos B+bcos C).(1)求角A;(2)若点D满足AD=2AC,且BD=3,求2b+c的取值范围.解(1)atan A=3(ccos B+bcos C),sin Atan A=3(sin Ccos B+sin Bcos C),sin Atan A=3sin(B+C)=3sin A.0A3,32b+c6.6.已知ABC的三个内角A,B
14、,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).(1)求角C;(2)若ABC的外接圆半径为2,求ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),a2-c2=ab-b2,a2+b2-c22ab=12,即cos C=12.0Ct1+16,所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.(2)在ABC中,cosBAC=-45,sinACB=55,所以ACB为锐角,sinBAC=35,cosACB=255.所以sin B=sin180-(BAC+ACB)=sin(BAC+ACB)=sinBACcosACB+cosBACsinACB=35255-4555=2525.由正弦定理得BCsinBAC=ACsinB,所以BC=107352525=1535,所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为f(v)=1535v(12v2+v+50)=153512v+1+50v1535212v50v+1=16535(v(0,30),当且仅当12v=50v,即v=10时,f(v)min=16535(元).所以若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需16535元.
