1、2012-2013学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1（3分）ABC中，a=1，b=，A=30，则B等于（）A60B60或120C30或150D120考点：正弦定理专题：计算题分析：由正弦定理可得 ，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小解答：解：由正弦定理可得 ，sinB=又 0B，B= 或，故选B点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点2（3分）数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN都有a1a2a3an=n2，则a3+a5等于（）ABCD考点：数列的概念及简单表示法
2、专题：计算题分析：由n2，nN时a1a2a3an=n2得当n3时，a1a2a3an1=（n1）2然后两式相除an=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=解答：解：当n2时，a1a2a3an=n2当n3时，a1a2a3an1=（n1）2两式相除an=（）2，a3=，a5=a3+a5=故选A点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力是基础题3（3分）已知等比数列an的公比为q（q为实数），前n项和为Sn，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A1BC1或D1或考点：等比数列的性质专题：计算题分析：根据等比数列的求和
3、分别表示出S3、S9、S6代入2S9=S6+S3，即可得到答案解答：解：依题意可知2S9=S6+S3，即2=+整理得2q6q31=0，解q3=1或，当q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排除故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题4（3分）（2008湖北模拟）设等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，则下列结论中正确的是（）ASn=nan3n（n1）BSn=nan+3n（n1）CSn=nann（n1）DSn=nan+n（n1）考点：等差数列的前n项和分析：根据选择项知：将an当作已知项，所以将数列倒过来解得解答：解：可理解为首项是an，公差为2的等差数an，故选C点评：做选择题时，不
4、要忽视选择支，是解题的重要信息之一，同时，有些简便方法也由此产生5（3分）（2009山东）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域专题：压轴题分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A点评：本题综合
5、地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值6（3分）（2012张掖模拟）设实数x，y满足 ，则的取值范围是（）ABCD考点：简单线性规划专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，设 ，再利用z的几何意义求最值，表示的是区域内的点与点O连线的斜率故 z的最值问题即为直线的斜率的最值问题只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可解答：解：作出可行域如图阴影部分所示：目标函数 2当且仅当 =1时，z最小，最小值为：2又其中 可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率其最大值为：2，最小值为
6、：，因此 的最大值为 ，则目标函数 则的取值范围是故选C点评：巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7（3分）（2011上饶模拟）已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010满足（）ABC1a201010Da201010考点：数列递推式专题：规律型分析：把数列看成，以此类推，第N大项为由此能够找到这个数列的第2010项a2010满足的条件解答：解：数列可看成，以此类推，第N大项为等此时有1+2+3+4
7、+N=，当N=62时，共有1953项当N=63时，共有2016项故a2010=，故选B点评：本题考查数列的递推式，解题时要善于合理地分组，注意总结规律，培养观察总结能力8（3分）设x表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式x23x100的解集是（）A2，5B2，6）C（3，6）D1，6）考点：一元二次不等式的解法专题：计算题；新定义分析：先求出关于x的不等式x23x100的解集是x|2x5，再根据题意x表示不超过x的最大整数，可得答案解答：解：由题意可得：关于x的不等式x23x100的解集是x|2x5，又因为x表示不超过x的最大整数，所以关于x的不等式x23x100的解集是x|2x6故选B点评
8、：解决此类问题的关键是读懂新定义并且正确解出一元二次函数不等式的解集9（3分）在数列an中，若an2an12=p（n2，nN*，p为常数），则称an为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；若an是等方差数列，则an2是等差数列；（1）n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn（kN*，k为常数）也是等方差数列；若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为（）ABCD考点：数列的应用专题：新定义分析：根据等方差数列的定义an是等方差数列，则an2an12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；验证（1）n2（1）n12是一个常数；验证akn+12akn2是
9、一个常数；根据等方差数列和等差数列的定义，证明公差是零即可解答：解：an是等方差数列，an2an12=p（p为常数）得到an2为首项是a12，公差为p的等差数列；an2是等差数列；数列（1）n中，an2an12=（1）n2（1）n12=0，（1）n是等方差数列；故正确；数列an中的项列举出来是，a1，a2，ak，a2k，数列akn中的项列举出来是，ak，a2k，a3k，（ak+12ak2）=（ak+22ak+12）=（ak+32ak+22）=（a2k2a2k12）=p（ak+12ak2）+（ak+22ak+12）+（ak+32ak+22）+（a2k2a2k12）=kp（akn+12akn2）=
10、kpakn（kN*，k为常数）是等方差数列；故正确；an既是等差数列，anan1=d，an既是等方差数列，an2an12=p（an+an1）d=p，1当d=0时，数列an是常数列，2当d0时，an=，数列an是常数列，综上数列an是常数列，故正确，故选C点评：本题考查等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，属基础题10（3分）数列an满足a1=1，=，记Sn=，若S2n+1Sn对任意的n（nN*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A10B9C8D7考点：数列与不等式的综合专题：综合题；压轴题分析：先求出 数列an2的通项公式，令 g（n）=S2n+1Sn，化简g（n）g（n+1）的解
11、析式，判断符号，得出g（n）为减数列的结论，从而得到 ，可求正整数t的最小值解答：解：=，a1=1，是首项为1，公差为4的等差数列，=4n3，Sn=+令 g（n）=S2n+1Sn，而g（n）g（n+1）=，为减数列，所以：，而t为正整数，所以，tmin=10故选A点评：本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错二、填空题（每题4分，满分20分）11（4分）在ABC中，若，则A=考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用了余弦定理表
12、示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数解答：解：b2+c2a2=bc，cosA=，A为三角形的内角，A=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键12（4分）不等式的解集是考点：其他不等式的解法专题：转化思想；不等式的解法及应用分析：先将分式不等式转化成一元二次不等式进行求解，注意分母不0解答：解：，解得x，所以不等式的解集为：故答案为：点评：本题主要考查了分式不等式的解法，同时考查了等价转化的数学思想，属于基础题13（4分）在等比数列an中，若a1，a10是方程3x22x6=0的
13、两根，则a4a7=2考点：等比数列的性质专题：计算题分析：根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案解答：解：a1，a10是方程3x22x6=0的两根，a1a10=2数列an为等比数列a4a7=a1a10=2故答案为：2点评：本题主要考查了等比数列的性质考查了学生对等比中项性质的灵活运用14（4分）（2010济南二模）等比数列an的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a11，a2009a201010，（a20091）（a20101）0，给出下列结论0q1；a2009a20111；T2010是Tn中最大的；使得Tn1成立的最大的自然数是4018其中正
14、确结论的序号为 （将你认为正确的全部填上）考点：等比数列的性质专题：综合题分析：根据（a20091）（a20101）0判断出a20091或a20101，先看a20091，则可知a20101假设a20090，那么q0，则可知a2010应与a1异号，推断出a20100与a20101矛盾，假设不成立，推断出q0，根据a2009=a1q2008应推断出a2009=a1q2008应该大于1假设不成立，进而综合可推断0q1判断出正确由结论（1）可知数列从2010项开始小于1，进而可推断出T2009是Tn中最大的不正确，根据等比中项的性质可知a2009a2011=a220101推断出正确根据等比中项的性质可
15、知当Tn=（a2009）2时，Tn1成立的最大的自然数，求的n推断出正确解答：解：（a20091）（a20101）0a20091或a20101如果a20091，那么a20101如果a20090，那么q0又a2010=a1q2009，所以a2010应与a1异号，即a20100和前面a20101的假设矛盾了q0又或者a20091，a20101，那么a2009=a1q2008应该大于1又矛盾了因此q1综上所述 0q1，故正确a2009a2011=a220101故正确，由结论（1）可知数列从2010项开始小于1T2009为最大项不正确由结论1可知数列由2010项开始小于1，Tn=a1a2a3an数列从
16、第2010项开始小于1，当Tn=（a2009）2时，Tn1成立的最大的自然数求得n=4018，故正确故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的性质考查了学生分析问题和解决问题的能力15（4分）设a是整数，0b1，若a2=2b（a+b），则b值为0，考点：函数的值专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：由已知中a2=2b（a+b），易得3a2=a2+4ab+4b2=（a+2b）2，即a=a+2b，结合a是整数，0b1，易求出a的值，进而求出b值解答：解：a2=2b（a+b），2a2=4ab+4b2，3a2=a2+4ab+4b2=（a+2b）2，a=a+2b即b=或b=又0b1，a是整数，当01时，0a
17、a=0，此时b=0，满足条件；a=1，此时b=，满足条件；a=2，此时b=，满足条件；当01时，1a0此时a=0，此时b=0，满足条件；综上，满足条件的b值为：0，故答案为：0，点评：本题考查的知识点是函数的值，实数的运算性质，分类讨论思想的应用，其中根据已知条件求出3a2=a2+4ab+4b2=（a+2b）2，进而得到a=a+2b是解答本题的关键三、解答题（共5小题，满分50分）16（10分）已知（m2+4m5）x24（m1）x+30对一切实数x恒成立，求实数m的范围考点：二次函数的性质专题：计算题分析：此题要分两种情况：当m2+4m5=0时，解出m的值，进行验证；当m2+4m5=0时，根据
18、二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即0，综合两种情况求出实数m的范围解答：解：当m2+4m5=0时，得m=1或m=5，m=1时，原式可化为30，恒成立，符合题意当m=5时，原式可化为：24x+30，对一切实数x不恒成立，故舍去；m=1；m2+4m50时即m1，且m5，（m2+4m5）x24（m1）x+30对一切实数x恒成立有解得1m19（5分）综上得 1m19（2分）点评：此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m2+4m5与0的关系，如果等于0，就不是二次函数了，这一点很重要；17（10分）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为
19、a、b、c，且sinA=，（1）求A+B的值；（2）若ab=，求a、b、c的值考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；正弦定理专题：计算题；综合题分析：（1）ABC中，A、B为锐角，sinA=，sinB=，可求得cosA，cosB，利用两角和与差的余弦公式可求A+B的值；（2）由ab=，利用正弦定理求得a，b的值，再由C=，利用余弦定理求c即可解答：解：（1）ABC中，A、B为锐角，A+B（0，），又sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB=，A+B=（2）sinA=，sinB=，由正弦定理=得：=，a=b，又a
20、b=，b=1，a=又C=（A+B）=，c2=a2+b22abcosC=2+121（）=5c=综上所述，a=，b=1，c=点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查同角三角函数间的基本关系与两角和的余弦公式及应用，由正弦定理求得a，b的值是关键，属于中档题18（10分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m0）满足x=3（k为常数）如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定
21、为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额生产成本技术改革费用）；（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式专题：应用题分析：（1）首先根据题意令m=0代入x=3 求出常量k，这样就得出了x与m的关系式，然后根据2010年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2010的件数就可以得出2010年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件产品的销售价格，然后用每件
22、的销售单价销售数量得到总销售额最后利用利润=销售金额生产成本技术改革费用得出利润y的关系式（2）根据基本不等式，求出y的最大值时m的取值即可解答：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）1=3k，k=2，x=3每件产品的销售价格为1.5（元），2010年的利润y=x（1.5）（8+16x）m=28m（m0）；（2）m0，y=28m28m=29（m+1）+=21当且仅当m+1=，即m=3时，ymax=21该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元点评：本题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力，以及求函数最值的问题，考查基本不等式的运用，属于中档题1
23、9（10分）已知数列an满足，且a1=0（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=n2nan，求数列bn的前n项和Sn；（3）设cn=，记Tn=，证明：Tn1考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列an的通项公式；（2）利用错位相减法，即可求数列bn的前n项和Sn；（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论解答：（1）解：a1=0，数列是以1为首项，1为公差的等差数列=n，an=；（2）解：bn=n2nan=（n1）2n，Sn=122+223+（n1）2n，2Sn=123+224+（n2）2n+（n1）2n+1，
24、两式相减可得Sn=122+123+12n（n1）2n+1，Sn=4+（n2）2n+1；（3）证明：cn=，Tn=+=1，Tn1点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题20（10分）（2007浙江）已知数列an中的相邻两项a2k1，a2k是关于x的方程x2（3k+2k）x+3k2k=0的两个根，且a2k1a2k（k=1，2，3，）（I）求a1，a3，a5，a7；（II）求数列an的前2n项和S2n；（）记，求证：考点：数列的求和；不等式的证明专题：压轴题；创新题型分析：（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k1，a2k，k赋值即可（2）
25、由S2n=（a1+a2）+（a2n1+a2n）可分组求和（3）Tn复杂，常用放缩法，但较难解答：解：（I）解：方程x2（3k+2k）x+3k2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12（II）解：S2n=a1+a2+a2n=（3+6+3n）+（2+22+2n）=（III）证明：，所以，当n3时，=，同时，=综上，当nN*时，点评：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求
