1、2012-2013学年广东省珠海市红旗中学高三（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1（5分）（2010福建模拟）设非空集合A，B满足AB，则（）Ax0A，使得x0BBxA，有xBCx0B，使得x0ADxB，有xA考点：集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断专题：阅读型分析：本题宜用集合的子集的定义来说明，若xA，有xB则可以说明AB，由此定义研究四个选项即可得出正确选项解答：解：由题意及子集的定义知AB，即xA，有xB故选B点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，解题的关键是掌握并理解子集的定义2（
2、5分）已知x，yR，i为虚数单位，且（x2）iy=1，则（1+i）xy的值为（）A4B4C2iD2+2i考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：根据复数相等的充要条件可得x，y，代入目标式可得答案解答：解：（x2）iy=1，即（x2）i=y+1，所以，解得x=2，y=1，所以（1+i）xy=（1+i）2+1=（1+i）3=2+2i，故选D点评：本题考查复数相等的充要条件、复数代数形式的乘除运算，属基础题3（5分）（2011广东三模）已知数列an是等差数列，且a1+a3+a5=2，则cosa3=（）ABCD考点：等差数列的性质专题：计算题分析：首先根据等差数列的性质得出
3、a1+a5=2a3就可以求出a3的值，然后根据特殊角的三角函数值求出答案解答：解：a1+a3+a5=2 a1+a5=2a33a3=2a3=cosa3=cos=故选D点评：本题考查了等差数列的性质，熟练掌握性质可以提高做题效率，属于基础题4（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x4y的最大值为（）A64B32C2D考点：基本不等式；简单线性规划专题：计算题分析：先画出可行域，再把可行域的几个角点分别代入，看哪个角点对应的函数值最大即可解答：解：由于目标函数 z=2x4y =2x+2y，令 m=x+2y，当m最大时，目标函数 z就最大画出可行域如图：可得点C（3，1）为最优解，m最大为5，故
4、目标函数 z=2x4y =2x+2y 的最大值为25=32，故选B点评：本题主要考查简单的线性规划问题，一般在求目标函数的最值时，常用角点法，就是求出可行域的几个角点，分别代入目标函数，即可求出目标函数的最值5（5分）（2010广州一模）在ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，则=（）A（2，7）B（6，21）C（2，7）D（6，21）考点：数量积的坐标表达式专题：计算题分析：利用向量的坐标形式的运算法则求出，利用向量共线的充要条件求出，利用向量共线的充要条件求出解答：解：=（3，2）点Q是AC的中点=（_6，21）故选B点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件：6（5分）
5、（2011江西模拟）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A8BCD考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由已知三视图我们可以判断出该几何体为一个正方体截去一个三棱台，根据已知中正方体的棱长为2，我们根据三视图中所标识的数据，分别计算出正方体的体积和三棱台的体积，进而可以求出该几何体的体积解答：解：分析已知中的三视图得：几何体是正方体截去一个三棱台，故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断几何体的形状是解答醒的关键点，同时也是解答本题的难点7（5分）（2011珠海二模）函数y=cos2（x）是（）A最小正周期是的
6、偶函数B最小正周期是的奇函数C最小正周期是2的偶函数D最小正周期是2的奇函数考点：三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性专题：计算题分析：根据题意对原函数进行化简得f（x）=y=sin2x=根据公式求出函数的周期，根据偶函数的定义判断出函数是偶函数解答：解：由题意得y=cos2（x）所以f（x）=y=sin2x=所以T=因为函数的定义域为R，其关于原点对称，且f（x）=f（x），所以函数是偶函数，所以函数的最小正周期是的偶函数故选A点评：解决此类问题的关键是熟悉二倍角公式，以及三角函数的周期的求解与奇偶性的证明，在高考中此类问题一般出现在选择题与填空题中8（5分）（2011惠州模拟）从某小
7、学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在120，130内的学生人数为（）A20B25C30D35考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图专题：计算题分析：由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数解答：解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）10=1，解得a=0.03身高在120，130内的学生人数在样本的频率为0.0310=0.3故身高在120，130内的学生人数为0.3100=30故选C点评：本题考查频率分布直方图
8、，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力9（5分）（2009湖南）设函数=f（x）在（，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2|x|当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为（）A（，0）B（0，+）C（，1）D（1，+）考点：函数单调性的判断与证明专题：计算题；压轴题分析：先根据题中所给的函数定义求出函数函数fK（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案解答：解：由f（x）得：，即，解得：x1或x1函数fK（x）=由此可见，函数fK（x）在（，1）单调递增，故选C点评：本题主要考查了分段
9、函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题10（5分）（2007江西）设椭圆=1（a0，b0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax2+bxc=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在（）A圆x2+y2=2内B圆x2+y2=2上C圆x2+y2=2外D以上三种情况都有可能考点：椭圆的应用专题：计算题；压轴题分析：先根据x1+x2=，x1x2=表示出x12+x22，再由e=得到a与c的关系，从而可表示出b与c的关系，然后代入到x12+x22的关系式中可得到x12+x22的范围，从而可确定答案解答：解：x1+x2=，x1x2=x12+x22=（x1+x2）22x1x2=e=a=2cb2=
10、a2c2=3c2所以x12+x22=2所以在圆内故选A点评：本题主要考查椭圆的基本性质的应用考查对椭圆基础知识的综合应用二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分必做题：（11-13题）11（5分）（2012湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=1，n=3，则输出的数S=4考点：循环结构专题：计算题分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答：解：判断前x=1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=6+2+1=3，i=1，第2次判断后S=5，i=0，第3次判断后S=4，i=1，第4次判断后10，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：4故答案为：4点评：本题
11、考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力12（5分）（2012黄州区模拟）有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为考点：几何概型；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题分析：本题利用几何概型求解先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点P到点O1，O2的距离都大于1的概率解答：解：到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为：P
12、=，故答案为：点评：本小题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型13（5分）（2013东莞一模）在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）对应的曲线在点（e，f（e）处的切线方程为xey=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：根据两函数的图象关于y=x对称可知，两函数互为反函数，所以求出已知函数的反函数即可得到f（x）的解析式；再
13、求出f（x）的导函数，把x等于e代入导函数求出值即为切线方程的斜率，然后把x等于e代入f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可解答：解：根据题意，函数y=f（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，由y=ex，解得x=lny，所以f（x）=lnx；f（x）=，所以切线的斜率k=f（e）=，把x=e代入f（x）中得：f（e）=lne=1，所以切点坐标为（e，1）则所求的切线方程为：y1=（xe），化简得：xey=0故答案为：xey=0点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两函数互为反函数的条件，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道综合题三.选
14、做题：（14-15题，考生只能从中选一题）14（5分）（2012天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为考点：与圆有关的比例线段专题：计算题；压轴题分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD求解解答：解：由相交弦定理得到AFFB=EFFC，即31=FC，FC=2，在ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD，即x4x=（
15、）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质15（2012北京）直线（t为参数）与曲线 （为参数）的交点个数为2考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程专题：计算题分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论解答：解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y1=0曲线 （为参数）化为普通方程为x2+y2=9圆心（0，0）到直线x+y1=0的距离为d=直线与圆有两个交点故答案为：2点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题三、解答题：本大题共6小题
16、，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2012陕西）函数（A0，0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值专题：计算题分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出，得到函数的解析式（2）通过，求出，通过的范围，求出的值解答：解：（1）函数f（x）的最大值为3，A+1=3，即A=2，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，T=，所以=2故函数的解析式为y=2sin（2x）+1（2），所以，点评：本题考查由y=Asin（
17、x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力17（13分）（2012惠州模拟）某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x，价格满意度为y）人数 yx价格满意度12345服务满意度111220221341337884414641501231（1）求高二年级共抽取学生人数；（2）求
18、“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；（3）为提高食堂服务质量，现从x3且2y4的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；极差、方差与标准差专题：应用题分析：（1）根据分层抽样的要求可得，抽取的人数为（2）先求出服务满意度”为3时的5个数据的平均数，再利用标准差公式计算（3）此概型为古典概型，按照古典概型计算方法解决解答：解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为（人）（3分）（2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为，（4分）所以方差（6分）（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服
19、务满意度为2”的4人记为a，b，c，d“服务满意度为1”的3人记为x，y，z（8分）在这7人中抽取2人有如下情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（a，z）（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（b，z）（c，d），（c，x），（c，y），（c，z）（d，x），（d，y），（d，z）（x，y），（x，z），（y，z）共21种情况（9分）其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种（11分）所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为（12分）点评：本题考查了分层抽样，标准差，古典概型等基础知识的应用，考查了基本运算18（13分）（2012肇庆一模）已知四
20、棱锥PABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形（1）求此四棱锥的体积；（2）若E是PD的中点，求证：AE平面PCD；（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：（1）由三视图可知：PA底面ABCD，PA=2，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，据此即可得出四棱锥的体积；（2）由三视图可知，PA平面ABCD，利用线面垂直的性质可得：CDPA；利用ABCD是正方形，可得CDAD，利用线面垂直的判定定
21、理可得CD平面PAD，再利用其性质可得CDAE，利用等腰三角形的性质可得AEPD，再利用线面垂直的判定即可证明；（3）利用三角形的中位线定理可得：EFCD且，进而得到EFAB且，据此得到：四边形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交解答：（1）解：由题意可知，PA底面ABCD，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，其面积SABCD=22=4，高h=2，所以（2）证明：由三视图可知，PA平面ABCD，CDPA，ABCD是正方形，CDAD，又PAAD=A，PA平面ABCD，AD平面ABCDCD平面PAD，AE平面PAD，AECD，又PAD是等腰直角三角形，E为PD
22、的中点，AEPD，又PDCD=D，PD平面PCD，CD平面PCD，AE平面PCD（3）证明：E，F分别是PD，PC的中点，EFCD且又CDAB且CD=AB，EFAB且，四边形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、梯形的性质、等腰三角形的性质、四棱锥的体积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力19（14分）（2010丰台区一模）设（）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；（）若函数f（x）在x=
23、a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；分类讨论；转化思想分析：（1）先求出导函数f（x），然后根据函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，则f（4）0，可求出a的范围；（2）根据函数f（x）在x=a处有极值是1，可知f（a）=1建立等式，解之即可求出a，然后将求出的a分别进行验证，从而求出在区间（1，4）内函数f（x）的单调性解答：解：f（x）=3x23（a+1）x+3a=3（x1）（xa）（2分）（1）函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，f（4）0，a4，+）；（5分）（2）函数f（x）在x=a处有极值是1，
24、f（a）=1，即，a2（a3）=0，所以a=0或3，（8分）当a=0时，f（x）在（，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（0）为极大值，这与函数f（x）在x=a处取得极小值是1矛盾，所以a0（10分）当a=3时，f（x）在（1，3）上单调递减，在（3，+）上单调递增，所以f（3）为极小值，所以a=3此时，在区间（1，4）内函数f（x）的单调性是：f（x）在（1，3）内减，在3，4）内增点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及极值等有关知识，属于中档题20（14分）（2007浙江）如图，直线y=k
25、x+b与椭圆=1交于A，B两点，记AOB的面积为S（I）求在k=0，0b1的条件下，S的最大值；（）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想分析：（）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值（）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k则直线的方程可得解答：解：（）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由，解得
26、，所以=b2+1b2=1当且仅当时，S取到最大值1（）解：由得，=4k2b2+1，=设O到AB的距离为d，则，又因为，所以b2=k2+1，代入式并整理，得，解得，代入式检验，0，故直线AB的方程是或或，或点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力21（14分）（2012佛山一模）设nN*，圆Cn：x2+y2=（Rn0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（an，0）（1）用n表示Rn和an；（2）求证：anan+12；（3）设Sn=a1+a2+a3+an，Tn=，求证：考点：数列与函数的综合；数列
27、的求和；数列与不等式的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）确定N、M的坐标，利用N在圆Cn：x2+y2=上，直线MN与x轴的交点为A（an，0），即可用n表示Rn和an；（2）利用2，1，即可证得结论；（3）先证当0x1时，进而可得，从而，求和即可证得结论解答：（1）解：N（）在曲线上，N（，）代入圆Cn：x2+y2=，可得，M（0，）直线MN与x轴的交点为A（an，0）=（2）证明：，2，+anan+12；（3）证明：先证当0x1时，事实上，等价于等价于1+x等价于0后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x2x0，即0x1当0x1时，（等号仅在n=1时成立）求和得点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查不等式的证明，证题的关键是证明当0x1时，属于难题