1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点33 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题来源:学科网ZXXK1.(2015浙江高考文科T7)如图,斜线段AB与平面所成的角为60,B为斜足,平面上的动点P满足PAB=30,则点P的轨迹是()来源:Z+xx+k.ComA.直线B.抛物线 C.椭圆D.双曲线的一支【解题指南】依据线面的位置关系与圆锥曲线的定义判断.【解析】选C.由题可知,当P点运动时,在空间中满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.二、解答题2（2015四川高考文
2、科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论（III）证明：平面【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1)由展开图可知，在的上方，如图（II）连接，如上图因为四边形和四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面所以平面，平面又因为平面，且所以平面平面（III）连接，交点坐标如下图，取中点分别
3、为，连接因为分别为中点所以设正方体棱长为，则所以三角形为等腰三角形，所以那么又因为平面，且所以平面。ABCEFO3.(2015北京高考理科T17)(14分)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE.(2)求二面角F-AE-B的余弦值.(3)若BE平面AOC,求a的值.【解题指南】(1)要证AOEB,只需证明AO平面EBCF.(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角余弦值.(3)将BE平面AOC转化为BEOC,再利用数量积为0,解出a.【解析】(1)因为AEF是等边三角
4、形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,交线EF,AO平面AEF,所以AO平面EBCF.因为BE平面EBCF,所以AOBE.ABCxFOyzE(2)取BC的中点D,连接OD.如图分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 ， ， ，设平面ABE的法向量n1=(x,y,z),则 ，令 得 ，所以 。平面AEF的法向量 。所以 。因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以余弦值为 。（3）由（1）知 。因为 ，所以 。要使平面AOC，只需 。因为 ， ，所以 ，即 ，解得（舍） 或 。4. (2015北京高考文科T18)(14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面
5、VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC.(2)求证:平面MOC平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.ABCOMV【解题指南】(1)只需证明MOVB.(2)只需证明OC平面VAB.(3)变换顶点,把C看作顶点,CO看作是高.【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为OM平面MOC,VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OCAB.因为平面VAB平面ABC,交线AB,OC平面ABC,所以OC平面VAB.因为OC平面MOC,所以平面MOC平面VAB.(3
6、)由(2)知OC为三棱锥C-VAB的高,因为ACBC且AC=BC=,所以OC=1,AB=2.因为VAB为等边三角形,所以SVAB=2=.。5.(2015广东高考理科T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG.(2)求二面角P-AD-C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解题指南】(1)可先证线面垂直,PE平面ABCD,进而得到线线垂直.(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角
7、问题转化到一个三角形中去解决.【解析】（1）证明：因为 且点为的中点，所以 ，又平面平面，且平面平面，平面，所以 平面，又平面，所以；PABCDEFG（2）因为是矩形，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又、平面，所以，所以即为二面角的平面角，在中，所以即二面角的正切值为；（3）如下图所示，连接，因为，即，所以，所以为直线与直线所成角或其补角，在中，PABCDEFG由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为6. (2015广东高考文科T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA.(2)证明:BC
8、PD.(3)求点C到平面PDA的距离.【解题指南】(1)由四边形CD是长方形可证CD,进而可证C平面D.(2)先证CCD,再证C平面DC,进而可证CD.(3)取CD的中点,连接和,先证平面CD,再设点C到平面D的距离为h,利用V三棱锥C-D=V三棱锥-CD可得h的值,即得点C到平面D的距离.【解析】(1)因为四边形CD是长方形,所以CD,因为C平面D,D平面D,所以C平面D.(2)因为四边形CD是长方形,所以CCD,因为平面DC平面CD,平面DC平面CD=CD,C平面CD,所以C平面DC,因为D平面DC,所以CD.(3)取CD的中点,连接和,因为D=C,所以CD,在RtD中, ,因为平面DC平
9、面CD,平面DC平面CD=CD,平面DC,所以平面CD,由(2)知:C平面DC,由(1)知:CD,所以D平面DC,因为D平面DC,所以DD,设点C到平面D的距离为h,因为V三棱锥C-D=V三棱锥-CD,所以SDh=SCD,即,来源:Z_xx_k.Com所以点C到平面D的距离是.7. （2015安徽高考文科T19）如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值。【解题指南】根据三棱锥的体积公式和线面垂直关系及平行线段成比例进行解答。【解析】（1）由题意可得，由PA平面ABC ，可知PA是三棱锥P-ABC的高，又
10、PA=1，所以所求三棱锥的体积为.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC,，垂足为N，在平面PAC内，过嗲按N作MN/PA交PC于点M，连接BM，由PA平面ABC知PAAC,所以，MNAC,由于,所以AC平面MBN，又平面MBN，所以ACBM,在直角三角形BAN中，AN=,所以NC=AC-AN=，由MN/PA，得=,8. (2015浙江高考理科T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】(1)取BC的中点E
11、,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FBD,且A1FBD=F,连接B1F.由AE=BE=,A1EA=A1EB=90,得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DBB1DB,由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=,A1B=4,DA1B=90,得BD=3,A1F=B
12、1F=,由余弦定理得 .9.(2015浙江高考文科T18)如图,在三棱锥ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.来源:学*科*网(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.【解析】(1)取BC的中点E,连接A1E,DE,AE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A
13、1D平面A1BC.(2)作A1FDE,垂足为F,连接BF.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以.10.(2015四川高考理科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线MN平面BDH.(3)求二面角A-EG-M的余弦值.【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题.(2)利用线线平行证明线面平行.(3)利用二面角的平面角的定义,作出二面角的平面角来,利用解三角形求解.【解析】
14、(1)由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,H在D的上方,如图(2)取BD中点O,连接MO,HO,则MOCD,且MO=CD,所以MOHN,且MO=HN,所以四边形MNHO为平行四边形,所以MNHO,因为HO平面BHD,MN平面BHD,所以MN平面BHD.(3)连接AC,EG,过M作MKAC,垂足在AC上,过点K作平面ABCD的垂线,交EG于点L,连接ML,则MLK就是二面角A-EG-M的平面角.因为MK平面ABCD,且AE平面ABCD,所以MKAE.又AE,AC平面AEG,所以MK平面AEG.且KL平面AEG,所以MKKL,所以三角形MKL为直角三角形,设正方体的棱长为a,则AB=BC=K
15、L=a,所以MC=,因为MCK=45,三角形MCK为直角三角形,所以MK=MCsin45=,来源:Z+xx+k.Com所以tanMLK=,所以cosMLK=,所以二面角A-EG-M的余弦值为.11.(2015新课标全国卷文科T18)(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD,(1)证明:平面AEC平面BED.(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.【解题指南】(1)先证明AC平面BED,再证明平面AEC平面BED.(2)利用三棱锥E-ACD的体积为求出AB的值,然后求出EAC,EAD,ECD的面积.【解析】(1)因为四边
16、形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE,又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积故x=2.从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.12. (2015江苏高考T16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.
17、设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面AA1C1C.(2)BC1AB1.【解题指南】(1)通过证明DEAC证明DE平面AA1C1C.(2)通过证明BC1平面AB1C证明BC1AB1.【解析】(1)由题意知,E是B1C的中点.在三角形AB1C中,D是AB1的中点,所以DE是三角形AB1C的中位线,所以DEAC.又因为AC平面AA1C1C,DE平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,且ACBC,所以AC平面BB1C1C,所以ACBC1.又因为BC=CC1,所以BB1C1C是正方形,所以BC1B1C.又B1CAC=C,所以BC1平面A
18、B1C,所以BC1AB1.13.(2015天津高考文科T17)(本小题满分13分)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E,F分别是BC,A1C的中点. (1)求证:EF平面A1B1BA.(2)求证:平面AEA1平面BCB1.(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小. 【解题指南】(1)要证明EF平面A1B1BA,只需证明EFBA1且EF平面A1B1BA.(2)要证明平面AEA1平面BCB1,可证明AEBC,BB1AE.(3)取B1C中点N,连接A1N,则A1B1N就是直线A1B1与平面BCB1所成角,在RtA1NB1中,由sinA1
19、B1N=,得直线A1B1与平面BCB1所成角为30.【解析】(1)如图,连接A1B,在A1BC中,因为E和F分别是BC,A1C的中点,所以EFBA1,又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA. (2)因为AB=AC,E为BC中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE,又BCBB1=B,所以AE平面BCB1,又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C,BC的中点,所以NEBB1,NE=BB1,故NEAA1,NE=AA1,所以A1NAE,
20、A1N=AE.又因为AE平面BCB1,所以A1N平面BCB1,从而A1B1N就是直线与平面所成的角.在ABC中可得AE=2,所以A1N=AE=2,因为BMAA1,BM=AA1,所以A1MAB,A1M=AB.又由ABBB1得A1MBB1.在RtA1MB1中可得A1B1=4.在RtA1NB1中因此A1B1N=30,所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.14. (2015湖北高考理科T19)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EFPB交
21、PB于点F,连接DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.【解题指南】（）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（）结合（）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.【解析】方法一:(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD为长方形,有
22、BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.而DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.而PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEF=E,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.(2)如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG.又因为PD底面ABCD,所以PDDG.而PDPB=P,所以DG平面PB
23、D.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设，有，在RtPDB中, 由, 得, 则 , 解得. 所以故当面与面所成二面角的大小为时，. 方法二:(1)如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(,1,0),C(0,1,0), ,点E是PC的中点,所以, ,于是,即PBDE.又已知EFPB,而DEEF=E,所以PB平面DEF.因为, ,则DEPC,PBPC=P,所以DE平面PBC.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF是一
24、个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.(2)由PD平面ABCD,所以是平面ABCD的一个法向量;由(1)知,PB平面DEF,所以是平面DEF的一个法向量.若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，则，解得. 所以 故当平面与平面所成二面角的大小为时，. 15. (2015湖北高考文科T20)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE. (1)证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,
25、写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.【解题指南】(1)由侧棱PD底面ABCD易知,PDBC;而底面ABCD为长方形,有BCCD,由线面垂直的判定定理知BC平面PCD,进而由线面垂直的性质定理可得BCDE;在PCD中,易得DEPC,再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由BC平面PCD,DE平面PBC,进一步可得四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即可得出结论;(2)结合(1)证明结论,并根据棱锥的体积公式分别求出V1,V2,即可得出所求结果.【解析】(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面AB
26、CD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.(2)由已知,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=SABCDPD=BCCDPD; 由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=SBCEDE=BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=CD,于是16. （2015重
27、庆高考文科20）如题（20）图，三棱锥中，平面平面，在线段上，且点F在线段AB上，且(1)证明：平面；（2）若四棱锥的体积为，求线段的长.【解题指南】（1）直接利用等腰三角形的性质及线面垂直的定义证明即可（2）设出边的长度为，用表示出的体积，进而可求出的长.【解析】（1）证明：如答（20）图，由知，为等腰中边的中点，故平面平面，平面平面，平面所以平面，从而因为故从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面（2）解：设则在直角中，从而由知，得故即由从而四边形的面积为由（1）知，平面，所以为四棱锥的高在直角中，体积故得解得或，由于可得或所以，或17.(2015福建高考文科T20)(本小题满分12分)如
28、图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1. (1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO.(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值.(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.【解题指南】(1)证出POAC即可.(2)只需ABC的面积最大,当COAB时,ABC的面积最大.(3)在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至与平面PAB共面.【解析】方法一:(1)在AOC中,因为OA=OC,点D为AC的中点,所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC.因为PODO=O,所以AC平面PDO.(2)因为点C在圆O上,所以当C
29、OAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以ABC面积的最大值为21=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为11=.(3)在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以PB=,同理PC=,所以PB=PC=BC,在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值,又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分PB,即E为PB中点.从而OC=OE+EC=+=,亦即CE+OE的最小值为.方法二:(1)(2)同方法一.(3)在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以OP
30、B=45,PB=.同理PC=,所以PB=PC=BC,所以CPB=60,在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示, 19. (2015陕西高考文科T18)(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD平面A1OC.(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.【解题指南】(1)运用E是AD的中点,判断得出BEAC,BE面A1OC,考虑CDBE,即可判
31、断CD面A1OC.(2)运用好折叠之前、之后的图形得出A1O是四棱锥A1-BCDE的高,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2,运用体积公式求解即可得出a的值.【解析】(1)在图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC,即在图2中,BEA1O,BEOC,又OA1OC=O,从而BE平面A1OC.又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,由图1可知, ，平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.关闭Word文档返回原板块