1、1.2.1任意角的三角函数(二)内容要求1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)知识点1三角函数的定义域正弦函数ysin x的定义域是R；余弦函数ycos x的定义域是R；正切函数ytan x的定义域是x|xR且xk，kZ【预习评价】函数y的定义域为_解析由cos x0得x|2kx2k，kZ答案x|2kx2k，kZ知识点2三角函数线1相关概念(1)单位圆：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆(2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段规定：方向与x轴或
2、y轴的正方向一致的为正值，反之为负值2三角函数线题型一三角函数线及其作法【例1】分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2)；(3)；(4)解作图，如图所示：图(1)，(2)，(3)，(4)中的MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线规律方法三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT【训练1】(1)作出的正弦线；(2)作出的正切线解(1)作
3、出的正弦线MP如图所示(2)作出的正切线AT如图所示考查方向题型二三角函数线的应用方向1利用三角函数线比较大小【例2-1】利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)tan与tan解如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，sinMP，tanAT；的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，则sinMP，tanAT，由图可见，MPMP0，ATATsin，(2)tantan方向2利用三角函数线解不等式【例2-2】在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写
4、出角的集合：(1)sin ；(2)tan 1解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，如图所示，故满足条件的角的集合为(2)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角终边的范围，如图所示，所以的取值集合是规律方法1.利用三角函数线比较大小的两个注意点(1)角的终边的位置要找准；(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向2利用三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角满足条件的终边范围(2)角的终边与单位圆
5、交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求【训练2】解不等式cos 解作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，如图所示，故满足条件的角的集合为题型三求三角函数的定义域【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)lg sin x解(1)要使函数f(x)有意义，sin xtan x0，sin x与tan x同号或sin xtan x0，故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角函数的定义域为x|2kx0得2kx0，sin2x，sin x.如图，x
6、(kZ)即x(kZ)函数的定义域为(kZ)课堂达标1下列四个命题中：一定时 ，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上不正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析由三角函数线的定义正确，不正确答案B2如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 解析方法一(特值法)令，则cos ，tan ，sin ，故cos sin tan 方法二如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，则OMMPAT，即cos sin
7、”或“”)解析因为01，结合单位圆中的三角函数线，知sin 1sin答案0，tantan基础过关1下列说法不正确的是()A当角的终边在x轴上时，角的正切线是一个点B当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在C正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D余弦线和正切线的始点都是原点解析根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上答案D2使sin xcos x成立的x的一个变化区间是()A BC D0，解析如图所示，当x和x时，sin xcos x，故使sin xcos x成立的x的一个变化区间是，答案A3函数f(x)tan(2x
8、)的定义域为()Ax|xk，kZ Bx|xk，kZCx|x2k，kZ Dx|xk，kZ解析易知2xk，kZ，即xk，kZ，故f(x)的定义域为x|xk，kZ答案A4若(，)，则sin 的取值范围是_解析如图所示，作出和的正弦线，可得sin (，1)答案(，1)5比较大小：sin 1.2_sin 1.5(填“”或“”)解析1.2(0，)，1.5(0，)，正弦线在(0，)内随角的增大而增大，sin 1.2sin 1.5答案6在单位圆中画出适合下列条件的角的终边(1)sin ；(2)cos 解(1)作直线y交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角的终边，如图甲(2)作直线x交单位圆于M，N两点，则OM
9、，ON为角的终边，如图乙7求函数f(x)ln的定义域解由题意，得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为能力提升8点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析30，cos 3b0因为|MP|OM|即|a|b|，所以sin 3cos 3ab0，由三角函数线易得f(x)ab,2ab，即解得g(x)23x7，x3,2，故当x2时，g(x)有最小值2答案B10函数f(x)的定义域为_解析如图所示答案 x |k x k（kZ）11sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是_解析由题意1，在单位圆
10、中作出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 1sin 1tan 1答案cos 1sin 1tan 112设是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小解是第二象限角，即2k2k(kZ)，故kk(kZ)作出所在范围如图所示当2k2k(kZ)时，cos sin tan 当2k2k(kZ)时，sin cos tan 13(选做题)利用三角函数线证明：若0sin sin 证明如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角，的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N，则由三角函数线定义可知：sin NQ，sin MP，过点Q作QHMP于点H，于是MHNQ，则HPMPMHsin sin 由图可知HPsin sin
