1、竞赛数学数论的基本问题（调整法、构造法、先猜后证法、反证法、配对法）3、调整法例12证明存在连续1000个正整数，其中恰有10个素数。证明：设100！+2,100！+3，100！+1001 每个数都是合数，记a=1001! 将中最后一个数去掉，而在左边添上a+1，显然，所得的数列a+1，a+2，a+1000中至少有一个素数。重复这一手续，直至得到数列1，2，3，1000 为止 注意到每次操作后的数列中素数的个数与操作前数列中素数的个数或相等，或少1，或多1， 而中的素数个数多于10个，因此必有一次操作后，所得的数列 中恰有10个素数。4、构造法 例13.若一个正整数的标准分解中，每个素约数的幂
2、次大于1，则称它为幂数。证明存在无穷多个互不相同的正整数，它们及它们中任意多个不同的数的和都不是幂数。证明：设所有的素数从小到大依次为 作数列注意：不是幂数。 将上述数列的第n项记为，显然不是幂数 对， 则有例14证明有无穷多个正整数n，满足n 注：设。若，则1) 证明：n，则，则为奇数 记，则 即 1，3，9，先猜后证猜想，当时，有n 对如上命题用归纳法（对k就行归纳） 当k=0,1时，结论成立 假设对于k，结论成立 即 则 （要证：） 对， 5、先猜后证 例15求最大的正整数,使得对每个正整数都有 解：当时， 当时， 当时， 猜想 18 对进行归纳（略）6、反证法 例16设整数满足。求证：
3、27 （分析：，则要证3，3，3）证明：我们证明被3除的余数均相同。用反证法 若结论不成立 （1）当中恰有2个数被3除的余数相同时不妨设 ，x与z模3不同余由得3，而由得3 这是不可能的，矛盾 （2）模3的余数都不相同，此时被3除的余数为0,1,2 3 矛盾 例17设证明完全平方数 证明：反证法 若是完全平方数，设 为正整数，为奇数 而 矛盾 例18用数码1,2,3,4,5,6,7作7位数，每个数码恰用一次，证明这些七位数中没有一个是另外一个的倍数。 证明：反证法 假设结论不成立 即存在七位数 使得，其中为正整数 矛盾例19证明形如的素数有无数个。 证明：反证法 若形如的素数只有有限个，设为
4、令 因为两个型的数的仍为型的数 而是型的，素约数 使得 又1 与是素数矛盾7、配对法 例20证明从1，2，100中任意选51个不同的数，其中必有两数互素。 证明：作1,2，3,4，99,100抽屉，从中选出51个数，至少有一个完整组，改组内两个数必然互素。 例21设的奇数，证明将集合S=0，1，2，n-1任意去掉一个元素后，总可以将剩下的元素分成两组，每组个数，使得两组数的和模n同余。证明：考虑0，1，2，n-1的分组 当时，1,2，4k 1,4k,2, 4k -1,，2k,2k+1 每一对的和均为4k+1，被n整除 共有2k对，将其中k对作为一组，另外k对作另一组 这样分法满足要求 ，1,2，3，4，4k-1，4k，4k+1，4k+2 1，2，4k，3，4k+1，4k+2， 4，4k-1，5，4k-2，
