1、专题15 椭 圆真题再研析提升审题力考向一 求椭圆的方程【典例】(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()B 如图,由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n.在AF1B中,由余弦定理推论得cosF1AB=.在AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-22n2n=4,解得n=.所以2a=4n=2 ,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭
2、圆方程为.考向二 椭圆与抛物线的综合问题【典例】(2019全国卷)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8D 因为椭圆的焦点为(,0),抛物线的焦点为（，0）,由已知可得=,解得p=8.【题眼直击】根据抛物线定义求出抛物线焦点求出椭圆的一个焦点,与的结论联立,可求出p【考前必备】1.椭圆中的焦点三角形焦点三角形为以椭圆两焦点与椭圆上一点为顶点的三角形,通常考查面积问题、离心率问题.涉及焦点三角形问题,通常用正余弦定理解答.2.椭圆中的通径为过焦点的垂线段,长度为.3.椭圆的对称性椭圆是轴对称图形也是中心对称图形,过原点的直线y=kx与椭圆的交点坐标
3、通常设为(x,y)与(-x,-y).【考场秘技】1.应注意椭圆的定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或者不存在的情况.2.求椭圆方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而且无法确定其标准方程时,设方程为(m0,n0且mn)可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB),这种形式在解题中更简单.3.求椭圆离心率的常用方法(1)公式法:求得a,c的值,代入公式e=,进行求解;(2)解齐次方程法:列出关于a,b,c的齐次方程,然后根据b2=a2-c2,消去b,转化成关于e的方程求解.【命题陷阱】1.容易忽略判断两种标准方程的形式,其
4、方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.【案例】T3.+x2=1(a1)中,y2的分母比较大,故焦点在y轴上,作图时需要注意.2.容易忽略椭圆上的点P(x,y)中x的范围为|x|a.【案例】T6,设椭圆上点M(x,y)时,应注意x的范围为0 xb20的条件.【案例】T7.椭圆,则m0且m3.1.方程(ab0,k0且k1)与方程(ab0)表示的椭圆,它们()A.有相同的离心率B.有共同的焦点C.有等长的短轴、长轴D.有相同的顶点高考演兵场检验考试力A 对于椭圆(ab0,k0且k1),设a=,b=,c=,则椭圆的离心率为e=,焦点坐标为,短轴长为2 b,长轴长为2 a,顶点坐标为和;对于椭圆(a
5、b0),离心率为e=,焦点坐标为,短轴长为2b,长轴长为2a,顶点坐标为和.因此,两椭圆有相同的离心率.2.已知椭圆的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R0)相切,则圆O的半径为()A.B.1 C.D.2B 因为椭圆,不妨设F(,0),P(0,),所以PF的方程为x+y-=0,因为直线PF与圆O:x2+y2=R2(R0)相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即R=d=1.3.已知椭圆+x2=1(a1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.B.2C.D.3 C 由题意可得:,据此可得:a2=5,椭圆方程为+x2=1,设P
6、(x,y),则y2=5(1-x2),故,当x=时,|PB|max=.4.已知椭圆(a0,b0)的离心率为,直线y=kx与该椭圆交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A 联立(b2+a2k2)x2=a2b2,则x=,由题意知=c,因为e=,所以a=2c,b=c,代入可得=c2k=.5.已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M是椭圆上的一点,且在y轴的左侧,过点F2作F1MF2的平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(O为坐标原点),则|MF2|-|MF1|等于()A.4B.2C.D.A 延长F2N交MF1的延长线于点P,作图如下:因为MN为F1MF2的平
7、分线,且F2NMN,所以,所以,因为O,N分别为F1F2,F2P的中点,所以ON为PF1F2的中位线,所以,所以.6.已知M为椭圆上一点,N为椭圆长轴上一点,O为坐标原点,有下列结论:存在点M,N,使得OMN为等边三角形;不存在点M,N,使得OMN为等边三角形;存在点M,N,使得OMN=90;不存在点M,N,使得OMN=90.其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.A 过原点且倾斜角为60的直线一定与椭圆有交点,假设y轴右侧的交点是M,在长轴上取ON=OM(ON在y轴右侧),则OMN就是等边三角形,故正确,错误;若点M和点N在y轴两侧,则OMN一定是锐角,若点M和点N在y轴同侧,不妨设为
8、在y轴右侧,设点M(x,y),则y2=3-x2,且0 x|ON|2,即OMN1B.m1且m3C.m3D.m0且m3B 椭圆,则m0且m3,而直线y=x+2与椭圆有两个公共点,联立化简可得(m+3)x2+4mx+m=0,所以=(4m)2-4m(m+3)=12m(m-1)0,可得m1或m0且m3,所以m1且m3.8.已知点P是椭圆上一点,F是椭圆的一个焦点,PF的中点为Q,O为坐标原点,若|OQ|=1,则|PF|=()A.3B.4C.5D.6D 设左焦点为F,右焦点为E,因为PF的中点为Q,EF的中点为O,所以|PE|=2|OQ|=2,又|PE|+|PF|=8,所以|PF|=6.9.已知椭圆C:(
9、ab0)的左焦点为F,过原点的直线l与椭圆C交于A,B不同的两点,且AFBF,延长AF,交椭圆C于点D,若|AF|=2|DF|,则椭圆C的离心率是()C 设椭圆C的右焦点为F,连接AF,BF,如图所示,设|AF|=2m,则|DF|=m,|AF|=2a-2m,|DF|=2a-m.由题意可知四边形AFBF是矩形,则解得故椭圆C的离心率是.10.已知椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,F2也是抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A为椭圆C与抛物线E的一个交点,且直线AF1的倾斜角为45,则椭圆C的离心率为()B 由题意可得:c=,直线AF1的方程为y=x+c.联立解得x=c,y=2c.所以A(c,2c),代入椭圆方程可得:,所以,化为:e2+=1,整理得:e4-6e2+1=0,解得e2=3-2 (e2=3+2 舍去),解得e=-1(e=1-舍去).