1、23双曲线2.3.1双曲线及其标准方程内容标准学科素养1.掌握双曲线的定义2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第33页基础认识知识点一双曲线的定义我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线这条曲线是满足下面条件的点的集合：PM|
2、MF1|MF2|常数如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)这条曲线是满足下面条件的点的集合：PM|MF2|MF1|常数这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支 知识梳理双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考若常数|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线不存在知识点二双曲线的标准方程类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系
3、，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|2c，|MF1|MF2|2a， 则|2a，整理得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，令b2c2a2(b0)，则b2x2a2y2a2b2，即1(a0，b0)双曲线的标准方程知识梳理双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2自我检测1动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线答案：C2
4、双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B.C. D(，0)答案：C授课提示：对应学生用书第34页探究一双曲线定义的应用教材P61习题2.3A组1题双曲线4x2y2640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于_解析：双曲线4x2y2640可化为1，a8.由定义知|PF1|PF2|16，|PF2|16|PF1|，|PF2|17或|PF2|15(舍去)答案：17例1(1)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5 D3(2)设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，P是双曲线上的一点，
5、且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8C24 D48解析(1)由题意得|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|6，|PF2|9或3(舍去)故选B.(2)，解得|PF1|8，|PF2|6.在PF1F2中，|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|10PF1F2为直角三角形，SPF1F2|PF1|PF2|24.故选C.答案(1)B(2)C方法技巧(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)
6、在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用跟踪探究1.已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2.若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解析：由1得，a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF2641
7、6.探究二求双曲线的标准方程阅读教材P54例1已知双曲线两个焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程题型：待定系数法求双曲线的标准方程方法步骤：(1)根据条件设出所求方程1(a0，b0)(2)根据双曲线的定义得2a|PF1|PF2|6，a3.又c5，从而求出b.(3)写出所求的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，4)，.解析(1)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c1
8、3，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得双曲线的标准方程为1.方法技巧待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程，得1.又a2b29，解得a25，b24，所以双曲线的标准方程为1.(2)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，所以解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，
9、b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.探究三与双曲线有关的轨迹问题 阅读教材P54例2已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程题型：求动点的轨迹方程方法步骤：(1)建立直角坐标系，使A、B在x轴上，坐标原点为AB的中点，设爆炸点P(x，y)(2)建立P的几何性质，|PA|PB|680.(AB800600)故P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支从而写出所求轨迹方程例3如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐
10、标系，求顶点C的轨迹方程解析以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|2)方法技巧(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪探究3如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆
11、F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解析：圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3ca2，故|PF1|1舍去；当P在右支上时，|PF1|ca12，故|PF1|21，故选D.答案：D2混淆a，b，c的关系致误双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值易错分析由8kx2ky28，得1.焦点在y轴上，a2，b2，又c2a2b2，故3，k.混淆了椭圆与双曲线中a、b、c的关系导致结果错误考查直
12、观想象、数学运算的学科素养自我纠正将双曲线的方程化成kx2y21.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y轴上，且c3.所以a2，b2.所以9，解得k1.3忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线1的焦距等于6，求实数m的值易错分析解答本题时，容易将m2看作a2，将m7看作b2，而造成漏解考查逻辑推理及数学运算自我纠正因为双曲线的焦距等于6，即2c6，所以c3，即a2b2c29.(1)当双曲线焦点在x轴上时，方程为1，a2m2，b2m7，所以m2m79，解得m9，即实数m的值为9.(2)当双曲线焦点在y轴上时，方程为1，a27m，b22m，所以7m2m9，解得m0，即实数m的值为0.综上可知，实数m的值为0或9.