1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点40 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题 1.(2015新课标全国卷文科T5)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为，依题意得，解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.2. （2015重庆高考理科10）
2、设双曲线的右焦点为，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A B C. D.【解题指南】解答本题首先根据条件求出交点D的坐标，然后利用距离小于求解渐近线斜率的取值范围.【解析】选A.由题意知 ，其中联立，可解得所以AC的垂线BD的斜率为，直线方程为AB的垂线CD的斜率为，直线方程为联立，解得到直线BC：的距离解得，所以，又双曲线的渐近线为，所以该双曲线的渐近线斜率的取值范围是.二、填空题3.(2015山东高考理科T15)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1: (a0,b0
3、)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B,若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.【解题指南】本题是双曲线与抛物线性质的综合应用,应从焦点和垂心出发构造a,b,c和p的关系,进而求出离心率e.【解析】由对称性知OAB是以AB为底边的等腰三角形,注意到双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点，设点，则，由的垂心为，得，消去得，即，所以，故.答案： 4.(2015新课标全国卷理科T14)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.【解题指南】设出圆的方程为(x-a)2+y2=r2,然后由两点间距离公式求解.【解析】设圆心为(a,0),则圆的方程为
4、(x-a)2+y2=r2,依题意得，解得， ，所以圆的方程为.答案: 来源:学科网三、解答题5.(2015新课标全国卷理科T20)(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明理由.【解题指南】(1)将直线y=kx+b(k0,b0)与椭圆C:9x2+y2=m2(m0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB为平行四边形当且仅
5、当线段AB与线段OP互相平分求解证明.【解析】(1)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故，来源:Zxxk.Com.于是直线的斜率即kOMk=-9,所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点(,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为xp.由，得，即.将点的坐标代入的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相评分，即.于是，解得.因为
6、ki0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.6.(2015新课标全国卷理科T20)(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线y=kx+a(a0)交于M,N两点,(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程.(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.【解析】(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y=,故y=在x=2处的导数值为,曲线C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,曲线C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=
7、-(x+2),即x+y+a=0.(2)存在符合题意的点P,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.7. （2015重庆高考理科21）如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且 (1)若求椭圆的标准方程；（2）若求椭圆的离心率.【解题指南】（1）直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦
8、距，从而可求出椭圆的方程，（2）根据椭圆的定义即可求解.【解析】（1）由椭圆的定义，故来源:Z.xx.k.Com设椭圆的半焦距为，由已知因此即从而故所求椭圆的标准方程为（2）如答（21）图，设点在椭圆上，且则求得由得，从而由椭圆的定义，从而由来源:Zxxk.Com有因此即于是解得8. （2015重庆高考文科21）如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且 (1)若求椭圆的标准方程；（2）若试确定椭圆离心率的取值范围.【解题指南】（1）直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距，从而可求出椭圆的方程，（2）将离心率整理成关于的函数，然后根据函数的单调性进行根求解.【解析】（1）由椭圆的定义，故设椭圆的半焦距为，由已知因此即从而故所求椭圆的标准方程为（2）如答（21）图，由得由椭圆的定义，从而有于是解得故由勾股定理得从而两边除以，得若记则上式变成由并注意到关于的单调性，得来源:学+科+网Z+X+X+K进而关闭Word文档返回原板块