1、数学期末试题一、选择题1. 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式计算得出结果【详解】故选：C【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题2. 已知为实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】给实数在其取值范围内任取值，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立，由此可得选项.【详解】令，选项A， ， A错误；选项B， ，B错误；选项C， ，根据不等式的加法性质，C正确.；选项D，D错误.故选：C【点睛】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法3. 不等式的解集是( )
2、A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，原不等式可以转化为（x+1）（x2）0且x20，可得x的取值范围，即可得答案.【详解】解：根据题意，可以变形为（x+1）（x2）0且x20，解得1x2，即不等式的解集为x|1x2，故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式.4. 设等差数列的前n项和，若，则( )A. 13B. 14C. 26D. 52【答案】C【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质求得a7，再由等差数列的前项和得答案.【详解】解：在等差数列an中，由a4+a104，得2a74，即a72.S13.故选：C.【点睛】本题考查等差数
3、列的性质，考查等差数列的前项和，是基础题.5. 在中，若，则的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以为钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 已知直线的方程为，直线的方程为，则直线和的距离为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析
4、】【分析】利用两条平行线间的距离公式，求出直线l1和l2的距离.【详解】解：已知直线l1的方程为3x+4y70，直线l2的方程为3x+4y+10，则直线l1和l2的距离为d，故选：A.【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题.7. 设某直线的斜率为k，且，则该直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出的范围.【详解】解：直线l的斜率为k，倾斜角为，若k（，），所以tan所以.故选：D.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力.8. 对于直线，和平面，能得出的一个条件是
5、（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】在A中，与相交或相行；在B中，与不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得【详解】在A中，则与相交或相行，故A错误；在B中，则与不一定垂直，故B错误；在C中，由由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，则由面面平行的判定定理得，故D错误故选：C【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的定义，判定，性质及几何特征是解答的关键，属于中档题9. 已知过点和点的直线为，若，则的值为（ ）A. B. C. 0D. 8【答案】A【解析】【分析】利用直线平行垂直与斜率的关系
6、即可得出【详解】l1l2，kAB2，解得m8又l2l3，(2)1，解得n2，mn10故选A【点睛】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案详解】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥PABC，如图是长方体的一部分，由三视图的数据，ABBC2，P到底面的距离为1，该几何体的体积：V.故选：B.【点睛】本题考查的知识点是三视图投影关系，几何体体积公式的运用，根据已知的三视图
7、，判断几何体的形状是解答的关键.11. 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【详解】解：根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有248，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+416故选：C.【点睛】本题考查了新定义，考查了棱柱的特征，属于中档题
8、.12. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，平面ABCD且，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，证明平面EFG平面BDS，再由题意证明AC平面EFG，得出点P在EFG的三条边上，求出EFG的周长即可.【详解】解：分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；则EFBD，EF平面BDS，BD 平面BDSEF平面BDS同理FG平面BDS又EFFGF，EF 平面EFG，FG 平面EFG，平面EFG平面B
9、DS，由ACBD，ACSO，且ACSOO，则AC平面BDS，AC平面EFG，点P在EFG的三条边上；又EFBD1，FGEGSB，EFG的周长为EF+2FG1+.故选：D【点睛】本题考查了四棱锥结构特征应用问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题.二、填空题13. 直线的斜率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形为yx+1，由直线斜截式的形式分析可得答案.【详解】解：直线l：xcosy+10，即为直线l：xy+10，即为yx+1，故直线的斜率为，故答案为：.【点睛】本题考查直线的斜率，注意将直线的方程变形为斜截式方程.14. 已知的解集为，则_【答案】
10、5【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出【详解】关于x的不等式ax2+x+b0的解集是（2，3），2，3是方程ax2+x+b=0的两个实数根，且a02+3=，23=，解得a=1，b=6，a+b=5故答案为：5【点睛】二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式15. 若，一定有，成立，请将猜想结果填空:_.【答案】【解析】【分析】根据表达式的规律即可猜想结论.【详解】解：由a0，b0，a+b1，一定有ab+4+，（ab）2+（）242+成立，可以猜想：，故答案为：.【点睛】本题考查了归纳推理的问题，
11、关键找到规律，属于基础题.16. 已知中，点，.则的面积为_.【答案】10【解析】【分析】由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可.【详解】解：由两点式的直线BC的方程为，即为x+2y80，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d，BC两点之间的距离为4，ABC的面积为410，故答案为：10.【点睛】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属于基础题.三、解答题17. 已知.（1）计算的值；（2）计算的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分子分母同除以
12、计算即可得答案.（2）利用正余弦的二倍角公式化简得，再将分母看成1并用表示，进而分子分母同除以即可计算求解得答案.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查利用正余弦的二倍角公式化简，同角三角函数关系求齐次式的值，考查运算能力，是中档题.18. 等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，若，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式求出，然后解方程可得的值.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，解得，因此，数列的通项公式为；（2），
13、由，解得.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了利用等比数列的求和公式求参数，考查计算能力，属于基础题.19. 如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，可证，从而得到要求证的平面；（2）取的中点，连接，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求该角大小为.【详解】（1）证明：连接，如图所示.、分别为、的中点，.平面，平面，平面.（2）取的中点，连接.为的中点，为的中位线，.又平面，平面，而平面，同理.，平面，而平面，为二面角的平面角，在直角三角形中，而
14、，故，因为锐角，故.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20. 设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，.(1)当时，求a的值；(2)当的面积为3时，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由，得，由正弦定理可知：，由此利用A30，能求出a的值；（2）由，ABC的面积为3，求出ac10，
15、由余弦定理得a2+c225，由此能求出的值.【详解】解：（1）， 由正弦定理可知：，A30，sinAsin30，；（2），ABC的面积为3， ，ac10，由余弦定理得：b2a2+c22accosB，即a2+c225，则（a+c）2a2+c2+2ac25+2045，故.【点睛】本题考查三角形的边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.21. 已知，.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出的最大值；（2）对变形为：，然后运
16、用基本不等式求解即可.【详解】解：（1），当且仅当时取等号，即时取等号.，所以的最大值为.（2），当且仅当时取等号，即时取等号.所以的最小值为.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，基础题.22. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，且，.四边形ABCD满足，.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.(1)若F为PC的中点，求证:平面PAD；(2)求证:平面平面PAB；(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)存在，【解析】【分析】（1）易得，利用线面平行的判
17、定证明；（2）易得AD平面PAB，利用面面垂直的判定，可得AD平面AFD，所以平面AFD平面PAB；（3）易得CD平面PAC.只需在棱PC上存在点F使得AFPC即可.【详解】(1)因为E，F分别为侧棱PB，PC的中点，所以，因为，所以，而平面PAD，平面PAD，所以平面PAD；(2)因为平面平面PAC，平面平面，且，平面PAC，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.又因为，所以平面PAB，而平面AFD，所以平面平面PAB；(3)在棱PC上显然存在点F使得.由已知，.由平面几何知识可得由(2)知，平面ABCD，所以，因为，所以平面PAC.而平面PAC，所以.又因为，所以平面PCD.在中，可求得，.可见直线与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为.点睛】本题考查了空间点、线、面位置关系，属于中档题.