1、第2讲参数方程一、知识梳理1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致2直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线yy0k(xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2r2(为参数且0b0)(t为参数且0t0)(t为参数)常用结论经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B
2、为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.二、习题改编1(选修44P22例1改编)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，点M(6，a)在曲线C上，则a 解析：由题意得所以答案：92(选修44P36例1改编)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，与圆C：(x3)2(y3)24交于A，B两点，求|AB|.解：将直线l的参数方式代入圆C的直角坐标方程，得4，即t24t60，设两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，从
3、而t1t24，t1t26，则|AB|t1t2|2.一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案：(1)(2)(3)二、易错纠偏(1)不注意互化的等价性致误；(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误1在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，求曲线C的普通方程解：由x2sin
4、2，0sin2122sin232x3，2xy40(2x3)2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的普通方程为(x4)2(y3)24，设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|MB|的值解：设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将(t为参数)代入(x4)2(y3)24，得t2(1)t10，所以t1t21，直线l：(t为参数)，可化为，所以|MA|MB|2t1|2t2|4|t1t2|4.参数方程与普通方程的互化(师生共研) 已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(为参数)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线【解】曲线C1：(x4)2
5、(y3)21，曲线C2：1，曲线C1是以(4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解1求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数解：将消去参数t得直线xy10；将消去参数得圆x2y29.又圆心(0，0)到直线xy10的距离d3.因此直线与
6、圆相交，故直线与曲线有2个交点2如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解：圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos (为参数)所以圆的参数方程为(为参数)参数方程的应用(师生共研) (2019高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值【解】(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.
7、(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos()11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题，如最值、范围等(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2，弦长l|t1t2|；M0为弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|. 1已知曲线C的普通方程为1，求曲线C的内接矩形周长的最大值解：由曲线C的直角坐标
8、方程为1，可设曲线C上的动点A(2cos ，2sin )，0，则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos 2sin )16sin()，00，所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1t221，t1t23，故t1，t2同正由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|PB|t1|t2|t1t221.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研) (一题多解)(2020贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为(为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为cos2sin .(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程
9、；(2)过原点且倾斜角为()的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|OB|的取值范围【解】(1)曲线C1的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，故曲线C1的极坐标方程为24cos ，即4cos .由曲线C2的极坐标方程为cos2sin ，两边同乘以，得2cos2sin ，故曲线C2的直角坐标方程为x2y.(2)法一：射线l的极坐标方程为，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|4cos ，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|，所以|OA|OB|4cos 4tan ，因为，所以|OA|OB|的取值范围是.法二：射线l的参数
10、方程为(t为参数，)把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t24tcos 0.解得t10，t24cos .故|OA|t2|4cos .同理可得|OB|，所以|OA|OB|4cos 4tan ，因为0)由题意，得sin ，故.而22242，所以2.所以点P的极坐标为.4(2020福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，点P的极坐标为.(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.解：(1)由2得22sin22，将2x2y2，y
11、sin 代入并整理得，曲线C的直角坐标方程为y21.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为，所以xcos cos1，ysin sin1.所以点P的直角坐标为(1，1)(2)将代入y21，并整理得41t2110t250，1102441258 0000，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1t2.依题意，点M对应的参数为，所以|PM|.5(2020湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4sin.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直
12、线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求ABQ面积的最大值解：(1)由消去t得xy50，所以直线l的普通方程为xy50.由4sin4sin 4cos ，得24sin 4cos ，化为直角坐标方程为x2y24x4y，所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内将直线l的参数方程化为代入圆的直角坐标方程，得t29t330.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t29，t1t233，所以|AB|t2t1|.又圆心(2，2)到直线l的距离d，所以ABQ面积的最大值为.6(2020吉林第三次调研
13、测试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24cos .(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求的值解：(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，两式相加消去t可得普通方程为xy20.由cos x，sin y，曲线C2的极坐标方程为sin24cos ，可得曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)把曲线C1的参数方程(t为参数)代入y24x，得t26t60，设t1，t2是A，B对应的参数，则t1t16，t1t26，所以.综合题组练1(202
14、0辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为1cos ，曲线C4的极坐标方程为cos 1.(1)求C3与C4的交点到极点的距离；(2)设C1与C2交于P点，C1与C3交于Q点，当在上变化时，求|OP|OQ|的最大值解：(1)联立得210，解得，即交点到极点的距离为.(2)曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为2sin ，联立C1，C2的极坐标方程得2sin ，即|OP|2sin ，曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得1cos ，即|OQ|1cos ，所以|OP|
15、OQ|12sin cos 1sin()，其中的终边经过点(2，1)，当2k，kZ时，|OP|OQ|取得最大值，为1.2(2020原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy中，直线C1：xy4，曲线C2：(为参数)在同一平面直角坐标系中，曲线C2上的点经过坐标变换得到曲线C3，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线C1的极坐标方程和曲线C3的极坐标方程；(2)若射线l：(0)分别交C1与C3于A，B两点，求的取值范围解：(1)由C1：xy4，得直线C1的极坐标方程为cos sin 4，由曲线C2的参数方程得其普通方程为1，由可得将其代入1，可得(x1)2y21，所以曲线C3的极坐标方程为2cos .(2)设A(1，)，B(2，)，则，由题可得1，22cos ，所以2cos (cos sin )(cos 2sin 21)，因为，所以cos1，所以0(1)所以的取值范围是.