1、第6讲对数与对数函数一、知识梳理1对数概念如果a(a0，且a1)的b次幂等于N，即abN，那么b叫作以a为底N的对数，记作bloga_N其中a叫作对数的底数，N叫作真数性质底数的限制：a0，且a1对数式与指数式的互化：axNloga_Nx负数和零没有对数1的对数是零：loga10底数的对数是1：logaa1对数恒等式：alogaNN运算性质loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)2.对数函数的图像与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.反函数指数函数yax
2、与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论1换底公式的三个重要结论logab；logambnlogab；logablogbclogcdlogad.2对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大二、教材衍化1 (log29)(log34)_解析：(log29)(log34)4.答案：42若函数yf(x)是函数y2x的反函数，则f(2)_解析：由题意知f(x)log2x，所以f(2)log221.答案：13函数yloga(4x)1(
3、a0，且a1)的图象恒过点_解析：当4x1即x3时，yloga111.所以函数的图象恒过点(3，1)答案：(3，1)4已知a2，blog2，clog，则a，b，c的大小关系为_解析：因为0a1，b1.所以cab.答案：cab一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(
4、1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)对数函数图象的特征不熟致误；(2)忽视对底数的讨论致误；(3)忽视对数函数的定义域致误1已知a0，a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是_(填序号)解析：函数yloga(x)的图象与ylogax的图象关于y轴对称，符合条件的只有.答案：2函数ylogax(a0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a_解析：分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a1时，有loga2loga41，解得a.所以a2或.答案：2或3函数y的定义域是_解析：由
5、log(2x1)0，得02x11.所以0，y0，2x3y0，所以，所以log2.答案：23设2a5bm，且2，则m等于_解析：由2a5bm得alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm10.因为2，所以logm102.所以m210，所以m.答案：4已知log23a，3b7，则log32的值为_解析：由题意3b7，所以log37b.所以log32log.答案：对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真
6、数的积、商、幂的运算 对数函数的图象及应用(师生共研) (1)(2019高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a0，且a1)的图象可能是()(2)已知函数f(x)，若存在实数a，b，c，d，满足f(a)f(b)f(c)f(d)，其中dcba0，则abcd的取值范围_【解析】(1)对于函数yloga，当y0时，有x1，得x，即yloga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y与yloga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.(2)由题意可得log3alog3bc2c8d2d8，可得log3(ab)0，故ab1.结合函数f(x)的图象，在区间3，)上，令f(x)1可得c3、d7
7、、cd21.令f(x)0可得c4、d6、cd24.故有21abcd24.【答案】(1)D(2)(21，24) 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 1.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是() Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c1解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0a1，0c1.答案：(1，)对数函数的性质及应用(多
8、维探究)角度一比较大小 已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcba Dcab【解析】因为cloglog23log2ea，所以ca.因为bln 21b.所以cab.【答案】D比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度二解简单对数不等式 已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_【解析】原不等式或，解不等式组得xlogab借助
9、ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解提醒注意对数式的真数大于零，且不等于1. 角度三与对数函数有关的综合问题 已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由【解】(1)因为a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立所
10、以32a0.所以a0且a1，所以a(0，1).(2)t(x)3ax，因为a0，所以函数t(x)为减函数因为f(x)在区间1，2上为减函数，所以ylogat为增函数，所以a1，当x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，所以即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1(2019高考天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()Aacb BabcCbca Dcab解析：选A.alog520.51，故alog0.50.252，而c0.50
11、.20.501，故cb.所以ac0，则实数a的取值范围是()A. BC. D(0，)解析：选A.因为1x0，所以0x10，所以02a1，所以0a0，若函数f(x)log3(ax2x)在3，4上是增函数，则a的取值范围是_解析：要使f(x)log3(ax2x)在3，4上递增，则yax2x在3，4上递增，且yax2x0恒成立，即解得a.答案：数形结合法在对数函数问题中的应用 设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x21 D0x1x21【解析】作出y10x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨令x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2
12、lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故选D.【答案】D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解 设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_解析：由题意知，在(0，10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，所以ab1，0clg 101，所以abc的取值范围是(0，1)答案：(0，1) 基础题组练1函数y的定义域是()A1，2B1，2)C. D解析：选C.由即解得x.2(2020吕梁模拟)已知alog35，b1.51
13、.5，cln 2，则a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCacb Dabc解析：选A.1alog35log3251.5，cln 21，所以cab，故选A.3如果logxlogy0，那么()Ayx1Bxy1C1xy D1yx解析：选D.由logxlogy0，得logxlogyy1.4函数f(x)|loga(x1)|(a0，且a1)的大致图象是()解析：选C.函数f(x)|loga(x1)|的定义域为x|x1，且对任意的x，均有f(x)0，结合对数函数的图象可知选C.5若函数yloga(x2ax1)有最小值，则a的取值范围是()A0a1 B0a2，a1C1a1时，y有最小值，则说明x2ax
14、1有最小值，故x2ax10中0，即a24a1.当0a0，故A7.答案：78已知函数f(x)|log3 x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_解析：因为f(x)|log3x|，正实数m，n满足m2，不满足题意综上可得9.答案：99设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)因为f(1)2，所以loga42(a0，且a1)，所以a2.由得1x3，所以函数f(x)的定义域为(1，3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(
15、3x)log2(x1)24，所以当x(1，1时，f(x)是增函数；当x(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.10已知函数f(x)logax(a0且a1)的图象过点(4，2)(1)求a的值；(2)若g(x)f(1x)f(1x)，求g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的减区间解：(1)函数f(x)logax(a0且a1)的图象过点(4，2)，可得loga42，解得a2.(2)g(x)f(1x)f(1x)log2(1x)log2(1x)log2(1x2)，由1x0且1x0，解得1x1，可得g(x)的定义域为(1，1)(3)g(x)l
16、og2(1x2)，由t1x2在(1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的，且ylog2t在(0，)上是增加的，可得函数g(x)的减区间为(0，1) 综合题组练1若log2xlog3ylog5z1，则()A2x3y5z B5z3y2xC3y2x5z D5z2x3y解析：选B.设log2xlog3ylog5zt，则t1, x2t, y3t, z5t, 因此2x2t1，3y3t1，5z5t1. 又t1，所以t10，由幂函数yxt1的单调性可知5z3y2x.2(2020黄石模拟)已知x1log2，x22，x3满足log3x3，则()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x1x3 Dx3x11，而x1lo
17、g20，0x22x2x1.故选A.3已知函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上是减少的，则a的取值范围为_解析：令g(x)x2ax3a，因为f(x)log0.5(x2ax3a)在2，) 是减少的，所以函数g(x)在区间2，)内是增加的，且恒大于0，所以a2且g(2)0，所以a4且4a0，所以4a4.答案：(4，44设函数f(x)|logax|(0a1)的定义域为m，n(m0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，)
