1、2013年广东省茂名实验中学高考数学模拟试卷一（理科）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=（x，y）|x+y=0，x，yR，B=（x，y）|xy=0，x，yR，则集合AB的元素个数是（）A0B1C2D3考点：交集及其运算专题：数形结合分析：集合的交集问题转化为直线x+y=0和xy=0的交点问题，作出直线x+y=0和xy=0，观察它们的图象的交点情况即可解答：解：集合的交集问题转化为直线x+y=0和xy=0的交点问题，作出直线x+y=0和xy=0，观察它们的图象的交点只有一个故选B点评：本题主要考查交集及其
2、运算，属于基础题2（5分）（2006山东）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用专题：计算题分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c22bccosA得：3=1+c22c1cos=1+c2c，c2c2=0，c=2或1（舍）解法二：（正弦定理）由=，得：=，sinB=，ba，B=，从而C=，c2=a2+b2=4，c=2点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解三角形时一般就
3、用这两个定理，要熟练掌握3（5分）设随机变量服从标准正态分布N（0，1），在某项测量中，已知在（，1.96内取值的概率为0.025，则P（|1.29（）A0.025B0.050C0.950D0.975考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：概率与统计分析：解法一：根据变量符合正态分布，且对称轴是x=0，得到P（|1.96）=P（1.961.96），应用所给的在（，1.96内取值的概率为0.025，条件得到结果，解法二：本题也可以这样解根据曲线的对称轴是直线x=0，得到一系列对称关系，代入条件得到结果解答：解：解法一：N（0，1）P（|1.96）=P（1.961.96）=（1.96）（1
4、.96）=12（1.96）=0.950解法二：因为曲线的对称轴是直线x=0，所以由图知P（1.96）=P（1.96）=（1.96）=0.025P（|1.96）=10.250.25=0.950故选C点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查对称性，是一个数形结合的问题，是一个遇到一定要得分数的题目4（5分）（2008山东）已知圆的方程为x2+y26x8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A10B20C30D40考点：直线与圆相交的性质专题：压轴题分析：根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的
5、弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可解答：解：圆的标准方程为（x3）2+（y4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=25=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且ACBD，四边形ABCD的面积S=|AC|BD|=104=20故选B点评：考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半5（5分）（2009广州二模）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A24种B30种C36种D48种考点：计数原理的应用专题：计算题分析：需要
6、先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，左后给下面一块着色，有2种结果，相乘得到结果解答：解：由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，左后给下面一块着色，有2种结果，根据分步计数原理知共有4322=48种结果，故选D点评：本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏6（5分）（2009天河区一模）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原
7、平面图形的面积是（）A2+BCD1+考点：斜二测法画直观图专题：计算题；作图题分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1+1）2=2+故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查7（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c（xR）给出下列4个命题当b=0时，f（x）=0只有一个实数根；当c=0时，y=f（x）是偶函数；函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；当b0，c0时，方程f（x）=0有两个不等实数根上述命题中，所
8、有正确命题的个数是（）A0B1C2D3考点：命题的真假判断与应用专题：压轴题；阅读型分析：对于当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=c只有一个交点，故可判断；当c=0时，f（x）=x|x|+bx，可判断函数为奇函数；y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故可判断；当b0，c0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根解答：解：当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=c只有一个交点，故正确；当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（
9、x）=f（x），故y=f（x）是奇函数；y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故正确；当b0，c0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根故选C点评：本题的考点是命题的真假判断与应用主要考查函数性质的判断，关键是正确理解函数8（5分）（2009东莞市二模）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A2B6C3D2考点：与直线关于点、直线对称的直线方程专题：压轴
10、题；数形结合；转化思想分析：设点P关于y轴的对称点P，点P关于直线AB：x+y4=0的对称点P，由对称特点可求P和P的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|PP|解答：解：点P关于y轴的对称点P坐标是（2，0），设点P关于直线AB：x+y4=0的对称点P（a，b）光线所经过的路程|PP|=2故选A点评：本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|PP|的长度二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两
11、部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分9（5分）利用计算机计算，某同学编写的右边程序语句中，处应填k99（或k100）考点：伪代码专题：等差数列与等比数列分析：计算，利用直到型循环结构，最后计算的是，由此可得结论解答：解：计算，利用直到型循环结构，最后计算的是处应填k99（或k100）故答案为：k99（或k100）点评：本题考查伪代码，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题10（5分）考点：定积分的简单应用专题：计算题分析：由于，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以
12、（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可解答：解：由于，表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积=1=，又=0，原式=故答案为：点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11（5分）（2012南京一模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是6考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；压轴题；数形结合分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量
13、的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0x2，2y0令Z=x2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题12（5分）在平面内有n（nN+，n3）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f（n）个平面区域则f（5）的值是16
14、；f（n）f（n1）=n1考点：进行简单的合情推理分析：先求出几个特殊的值，再分析前k条直线与第k+1条直线，把平面分成的区域之间的关系，归纳出关系式f（k+1）f（k）=k+1，再根据数列求和求出f（n）的关系式，问题解决解答：解：一条直线（k=1）把平面分成了2部分，记为f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+
15、1）f（k）=k+1，令k=1，2，3，n得 f（2）f（1）=2，f（3）f（2）=3，f（n）f（n=1）=n，把这n1个等式累加，得 f（n）=2+部分所以f（5）=16，f（n）f（n1）=n1故答案为：16，n1点评：本题主要考查了归纳推理，以及数列递推式，属于基础题所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理13（5分）有以下四个命题：两直线m，n与平面所成的角相等的充要条件是mn；若p：xR，sinx1，则P：xR，sinx1；不等式10xx2在（0，+）上恒成立；设有四个函数，其中在R上是增函数的函数有3个其中真命题的序号是（漏填、多填或错填均不得分）考点：全称命题；命题
16、的真假判断与应用专题：阅读型分析：通过举特殊情形，m，n与平面均平行，且相交时，判断错误根据特称命题的否定判断根据指数函数和幂函数的增长快慢判断根据幂函数的图象与性质判断解答：解：当两直线m，n与平面均平行，且相交时，所成的角相等，均为0度，显然错误若p：xR，sinx1，则P：xR，sinx1 正确根据特称命题的否定判断，可知正确根据幂函数的图象与性质，只有R上是增函数故答案为：点评：本题考查命题的真假，用到了线面角、函数的图象与性质等知识14（5分）（2012惠州一模）在极坐标系中，过点作圆=4sin的切线，则切线的极坐标方程是cos=2考点：极坐标系专题：计算题；转化思想分析：求出极坐标
17、的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可解答：解：的直角坐标为：（2，2），圆=4sin的直角坐标方程为：x2+y24y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：cos=2故答案为：cos=2点评：本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力，转化思想15（2013茂名一模）如图，O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过p点作O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，PC=cm考点：圆的切线的性质定理的证明专题：计算题；压轴题分析：在圆中线段利用由切线定理求得O
18、CP=Rt，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合解直角三角形求得PC即可解答：解：连接OC，PC是O的切线，OCP=90CPA=30，OC=3，tan30=，即PC=故填：点评：此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及切线定理，属于基础题三、解答题:本大题6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+） （xR，A0，0，|）的部分图象如图所示，（）试确定f（x）的解析式；（）若=，求cos（）的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值专题：计算题；图表型分析：（）先根据图象得到A
19、=2，=，求出；再把点P（，2）代入结合|即可求出，进而得到f（x）的解析式；（）先根据f（）=，得到sin（+）=；再结合cos（a）=cos2（+）=cos2（+）以及二倍角的余弦公式即可解题解答：解：（）由图象可知A=2，=，T=2，=将点P（，2）代入y=2sin（x+），得 sin（+）=1，又|，所以=故所求解析式为f（x）=2sin（x+） （xR） 6分（）f（）=，2sin（+）=，即，sin（+）=cos（a）=cos2（+）=cos2（+）=2sin2（+）1=12分点评：本题主要考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式以及三角函数的恒等变换及化简求值解决第二问的
20、关键在于得到cos（a）=cos2（+）=cos2（+）17（12分）用射击的方法引爆装有汽油的大汽油罐，已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功（可以是两次不连续的命中），每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立（1）求油罐被引爆的概率（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及的数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）设“油罐被引爆”为事件A，先求其对立事件的概率，利用即可得出；（2）利用独立事件和互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望即可得出解答：解：（1）设“油罐被引爆”为事件A，其
21、对立事件为，则=，=即油罐被引爆的概率为（2）射击次数的可能取值为2，3，4，5则P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，P（=5）=或P（=4）=1P（=2）P（=3）P（=4）=故的分布列为：故E=点评：熟练掌握独立事件的概率关系、独立事件和互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望是解题的关键18（14分）（2008广州一模）如图2所示，在边长为12的正方形AAA1A1中，点B，C在线段AA上，且AB=3，BC=4，作BB1AA1，分别交A1A1、AA1于点B1、P，作CC1AA1，分别交A1A1、AA1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得AA1与AA1重合，构成如图3所
22、示的三棱柱ABCA1B1C1（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，求证：AB平面BCC1B1（2）求平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比（3）在三棱柱ABCA1B1C1中，求直线AP与直线A1Q所成角的余弦值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定专题：证明题；综合题；转化思想分析：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，证明AB垂直平面BCC1B1内的两条相交直线BC、BB1即可（2）说明AB为四棱锥ABCQP的高，求出梯形BCQP的面积，即可求出平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上部分的体积；同理求出下部分几何体的体积，即可得
23、到它们之比（3）AB，BC，BB1两两互相垂直以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，求出，利求直线AP与直线A1Q所成角的余弦值解答：解：（1）证明：在正方形AAA1A1中，AC=AAABBC=5，三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5AB=3，BC=4，AB2+BC2=AC2，则ABBC四边形AAA1A1为正方形，AA1BB1，ABBB1，而BCBB1=B，AB平面BCC1B1（2）解：AB平面BCC1B1，AB为四棱锥ABCQP的高四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，梯形BCQP的面积为，四棱锥ABCQP的体积，由（1）知B1BAB
24、，B1BBC，且ABBC=B，B1B平面ABC三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，三棱柱ABCA1B1C1的体积为故平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分的体积之比为（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A（3，0，0），A1（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），异面直线所成角的范围为，直线AP与A1Q所成角的余弦值为点评：本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力19（14分）（2009广州二模）已知函数，g（x）=x+lnx，
25、其中a0（）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（）是否存在正实数a，使对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；分类讨论分析：（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数a的值（2）问题等价于对任意的x1，x21，e时，都有f（x）ming（x）max，分类讨论，利用导数的符号判断函数的单调性，由单调性求出函数f（x）的最小值及g（x）的最大值，根据它们之间的关系求出实数a的取
26、值范围解答：（1）解：，其定义域为（0，+），x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0，a0，经检验，当时，x=1是函数h（x）的极值点，（2）解：假设存在实数a，对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立，等价于对任意的x1，x21，e时，都有f（x）ming（x）max，当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，e，a0，当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数f（x）min=f（1）=1+a2由1+a2e+1，得 a，又0a1，a 不合题意当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，
27、在（a，e上是增函数f（x）min=f（a）=2a.2ae+1，得 a，1ae，ae当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得 a，又ae，ae综上所述，存在正实数a的取值范围为 点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值20（14分）（2013潮州二模）已知数列an满足：a1=1，a2=，且an+2=（I）求证：数列为等差数列；（II）求数列an的通项公式；（III）求下表中前n行所有数的和Sn考点：等差关系的确定；数列的求和专题：压轴题分析：（1）把所给的递推式整理，构造要求的数列形式，仿写一个递推式，用数列的后一项去减前一项，合并同类项，发现满足等
28、差中项公式，得到结论（2）写出（1）中的数列通项，用叠乘的方法把其他项都约去，得到第n项和第一项，因第一项可求出结果，所以得到通项公式（3）根据表中构造的新数列，由它的特点写出第n行的各数之和，代入所求数列的通项，整理出组合数形式，用二项式定理的各项系数之间的关系，得到第n行的各数之和，于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解解答：解：（I）=，数列满足等差中项公式为等差数列（II）由（I）得故当n2时，即又当n=1时，满足上式所以通项公式为（III）第n行各数之和表中前n行所有数的和Sn=（222）+（232）+（2n+12）=（22+23+2n+1）2n=2n+22n4点评：有关数列的
29、试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现21（14分）（2007深圳一模）已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，（）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（）过定点D（m，0）（m0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：AED=BED；（）在（）中，是否存在垂直于x轴的直线l被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出l的方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹
30、方程专题：综合题分析：（I）设M（x，y），P（0，y），Q（x，0）则可得 ，由 代入整理可求点M的轨迹C；（II）要证明AED=BED，根据直线的倾斜角与斜率的关系，只要证KAE=KBE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有AED=BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换即得；（III）假设存在满足条件的直线，根据垂径定理得性质可知，要使弦长为定值，则只要圆心到直线的距离为定值即可解答：解：（）设M（x，y），P（0，y），Q（x，0）（x0），且（3，y）（x，yy）=0（2分）（3分）y2=4x（x0）（4分）动点M的轨迹C是以O（
31、0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）（5分）（）：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有AED=BED；（6分）（2）当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（xm）（k0，m0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组消去x并整理，得ky24y4km=0（7分）设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则k1+k2=（9分）tanAED+tan（180BED）=0tanAED=tanBED，AED=BED综合（1）、（2）可知AED=BED（10分）（）假设存在满足条件的直线l，其方程为x=a，AD的中点为O，l与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则OHFG，O点的坐标为=，|FH|2=|OF|2|OH|2=（am+1）x1+a（ma）（12分）|FG|2=（2|FH|）2=4（am+1）x1+a（ma）令am+1=0，得a=m1此时，|FG|2=4（m1）当m10，即m1时，（定值）当m1时，满足条件的直线l存在，其方程为x=m1；当0m1时，满足条件的直线l不存在（14分）点评：本题以向量得数量积得坐标表示为载体考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解属于综合试题