1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十七)椭圆(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆与双曲线=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(ab0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10a=5,则c=4,e=选B.2.(2015烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1
2、|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设椭圆的标准方程为=1(ab0).由点P(2,)在椭圆上知=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.【加固训练】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)
3、+(3+r)=16,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.3.设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.在RtPF1F2中,令|PF2|=1,因为PF1F2=30,所以|PF1|=2,|F1F2|=.所以e=.故选D.4.(2015聊城模拟)椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=,且PQl,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(,1)B.(0,)C.(0,)
4、D.(,1)【解析】选A.设点P(x1,y1),由于PQl,故|PQ|=x1+,因为四边形PQF1F2为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,则有x1=2c-a,所以2c2+ac-a20,即2e2+e-10,解得e,由于0e1,所以eb0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(0,)B.(0,C.(,1)D.,1)【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,所以|OP|=cb,即c2a2-c2,所以ac,因为e=,0e1,所以eb0)的左、右焦点F
5、1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.【解题提示】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2b2,又b2=a2-c2,所以有c2a2-c2,即2c2b0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,则C的离心率为.【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定ABF的形状,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.【解析】如图,设
6、|AF|=x,则cosABF=解得x=6(负值舍去),所以AFB=90,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且FAF1=FAB+FBA=90,FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,所以答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)由题意F2(
7、c,0),B(0,b),|BF2|=又C,所以=1,解得b=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)直线BF2方程为=1,与椭圆方程=1联立方程组,解得A点坐标为则C点的坐标为又F1(-c,0),=又kAB=-,由F1CAB,得(-)=-1,即b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化简得e=10.(2015台州模拟)已知椭圆E:=1的右焦点恰好是抛物线C:y2=4x的焦点F,点A是椭圆E的右顶点,过点A的直线l交抛物线C于M,N两点,满足OMON,其中O是坐标原点.(1)求椭圆E的方程.(2)过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ,过点N作x轴平行线NQ,直线BQ与NQ相交于
8、点Q,若QMN是以MN为一条腰的等腰三角形,求直线MN的方程.【解析】(1)F(1,0),所以a2-b2=1,A(a,0),设直线l:x=a+my代入y2=4x中,整理得y2-4my-4a=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则又因为=4x1,=4x2,所以x1x2=a2,由OMON,得=x1x2+y1y2=a2-4a=0,解得a=4或a=0(舍),得b2=15,所以椭圆E的方程为=1.(2)椭圆E的左顶点B(-4,0),所以点Q(-4,y2),易证M,O,Q三点共线.当QM为等腰QMN的底边时,由于ONOM,所以O是线段MQ的中点,所以所以m=0,即直线MN的方程为x=4.当QN为等腰
9、QMN的底边时, 2=-4,又因为y1y2=-16,解得所以m=所以直线MN的方程为x=4y,即y=(x-4).综上所述,当QMN为等腰三角形时,直线MN的方程为x=4或y=(x-4). (20分钟40分)1.(5分)已知椭圆=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()A.(,)B.(-,)C.(-, )D.(-,)【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),kAB=-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12,3+4=12,两式相减得3(-)+4(-)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x
10、+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则1,即-m2C.tb0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为()【解析】选B.由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OAAP,所以2b2=a2,故e=故选B.3.(5分)已知F1,F2是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A,B两点,若=0,|=|,则椭圆的离心率为.【解析】在RtABF2中,设|AF2|=m,则|AB|=m,|BF2|=m,所以4a=(2+)m.又在RtAF1F2中,|AF1|=2a-m=m
11、,|F1F2|=2c,所以(2c)2=(m)2+m2=m2,则2c=m.所以椭圆的离心率e=-.答案:-【加固训练】直线y=-x与椭圆C:=1(ab0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为()A.B.C.-1D.4-2【解析】选C.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-x得AOF2=,AOF1=.所以|AF2|=c,|AF1|=c.由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,所以c+c=2a,所以e=-1.4.(12分)(2015兰州模拟)已知椭圆C: =1(ab0)的焦距为2,且过点(1,
12、),右焦点为F2,设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求的取值范围.【解析】(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆C过点(1,),所以=1,故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)讨论当直线AB垂直于x轴,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),得=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k0),M(-,m)(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用“点差法”,首先得到4mk=1;得到PQ的直线方程为y-m=-4m(x+),即y=-4mx-m.联立
13、消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),应用根与系数的关系,得到=根据M(-,m）在椭圆的内部,得到0m20,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点的横坐标为x0,则x0=,设线段PA中点的横坐标为x3=,由已知得x0=x3,即=,显然t0,所以h=-(t+1),当t0时,t+2,当且仅当t=1时取等号,此时h-3,不满足式,故舍去;当tb0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.因为所以c=,b=所以所求椭圆C的方程为=1.(2)因为点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),所以解得所以3x1-4y1=-5x0.因为点P(x0,y0)在椭圆C:=1上,所以-2x02,则-10-5x010.所以3x1-4y1的取值范围为-10,10.关闭Word文档返回原板块