1、第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的当x1f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递减的(2)单调区间和函数的单调性如果yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数如果函数yf
2、(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在xI，使得f(x)M(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在xI，使得f(x)M结论M为最大值M为最小值常用结论1函数单调性的两种等价形式设任意x1，x2a，b且x1x2，(1)0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数2五条常用结论(1)对勾函
3、数yx(a0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(3)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)，ug(x)的单调性的关系是“同增异减”(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值二、教材衍化1函数f(x)x22x的递增区间是_答案：1，)(或(1，)2若函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_解析：因为函数y(2k1)xb在R上是减函数，所以2k10，即k.答案：3已知函数f(x)，x2，6，则f(x)的最大值为
4、_，最小值为_解析：可判断函数f(x)在2，6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数f(x)的递增区间是1，)()(3)函数y的递减区间是(，0)(0，)()(4)所有的单调函数都有最值()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易
5、错纠偏(1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调；(3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念1函数ylog(x24)的递减区间为_答案：(2，)2已知函数f(x)是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意得解得即a.答案：3函数yf(x)是定义在2，2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析：由题意得即所以1a0时，f(x)0，当a0，即当a0时，f(x)在(1，1)上为减函数，当a1时，f(x)min26，当且仅当x时取到最小值，又26x11时，f(x2)f(x
6、1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac【解析】因为f(x)的图象关于直线x1对称所以ff.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为12ff(e)，所以bac.【答案】D角度二解函数不等式 已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1，2) D(2，1)【解析】因为当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f(x)的图象是一条连续的曲线因为当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(
7、2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.【答案】D角度三根据函数的单调性求参数 (1)(2020南阳调研)已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_(2)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上是增加的，则实数a的取值范围是_【解析】(1)法一：设1x11.因为函数f(x)在(1，)上是增函数，所以f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.因为x1x20，即ax1x2.因为1x11，所以x1x20时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|
8、x|为减函数2函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0) BC0，) D解析：选B.y|x|(1x)函数y的草图如图所示由图易知原函数在上递增故选B.3若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A. B6，4C3，2 D4，3解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1，2上为减函数，故2，3，即a6，44已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. BC. D解析：选D.
9、因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.5定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C.由题意知当2x1时，f(x)x2，当10，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，因为x1x20，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f2，f(
10、2)2，解得a.10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上是增加的；(2)若a0且f(x)在(1，)上是减少的，求a的取值范围解：(1)证明：设x1x22，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上是增加的(2)设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，0a1.综合题组练1若f(x)x24mx与g(x)在区间2，4上都是减函数，则m的取值范围是()A(，0)(0，1 B(1，
11、0)(0，1C(0，) D(0，1解析：选D.函数f(x)x24mx的图象开口向下，且以直线x2m为对称轴，若在区间2，4上是减函数，则2m2，解得m1；g(x)的图象由y的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间2，4上是减函数，则2m0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0，12已知函数f(x)log2x，若x1(1，2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B.因为函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1，2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.故选B.3设f(x)若f(0)
12、是f(x)的最小值，则a的取值范围为_解析：因为当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a0.当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解得1a2，所以a的取值范围是0a2.答案：0，24如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为_解析：因为函数f(x)x2x的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数，又当x1时，x1，令g(x)x
13、1(x1)，则g(x)，由g(x)0得1x，即函数x1在区间1， 上递减，故“缓增区间”I为1， 答案：1， 5已知函数f(x)x2a|x2|4.(1)当a2时，求f(x)在0，3上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间1，)上是增加的，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)x22|x2|4，当x0，2)时，1f(x)0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解：(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x1