1、第3课时题型三利用空间向量求空间角例 3(2020 年大数据精选模拟卷)如图634，在三棱锥PABC 中，PA PBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面 ABC，D，E 分别为 AB，AC 中点.(1)求证：ABPE；(2)求二面角 APBE 的大小.图 634(1)证明：连接 PD，PA PB，D 为 AB 中点，PDAB.DEBC，BCAB，DEAB.又PDDED，AB平面 PDE，PE平面 PDE，ABPE.(2)解：方法一，平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面ABCAB，PDAB，PD平面 ABC，则 DEPD，又 EDAB，PDABD，DE平面 PAB，过 D 作 DF
2、垂直 PB 于 F，连接 EF，则 EFPB，DFE为所求二面角的平面角，故二面角 APBE 的大小为 60.方法二，平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，PDAB，PD平面 ABC.如图 635，以 D 为原点建立空间直角坐标系，图 635设二面角 APBE 的大小为，由图知所以60，即二面角 APBE 的大小为 60.【规律方法】立体几何中的直线与平面的位置关系，以及空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来处理，对于直线与平面间几种位置关系，可采用平行垂直间的转化关系来证明；对于异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它
3、们转化为相交直线所成的角来处理.本题主要考查立体几何中传统的平行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太大，旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力.【互动探究】1.(2019 年全国)如图636，长方体ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，求二面角 BECC1 的正弦值.图 636图 D89题型四 翻折问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们
4、是解决问题的关键.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法.例 4(2018 年全国)如图637，四边形ABCD为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.图 637(1)证明：由已知可得 BFPF，BFEF，又 PFEFF，BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，平面 PEF平面 A
5、BFD.(2)解：作 PHEF，垂足为 H.由(1)得 PH平面 ABFD.图 638设 DP 与平面 ABFD 所成角为，【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各点间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明.【互动探究】2.(2020 年全国名校高三 5 月大联考)如图 639，在矩形ABCD 中，将ACD 沿对角线 AC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 ABP平面 ABC.(1)求证：APPB；PACB 的余弦值.图 639(1)证明：由四边形 ABCD
6、 是矩形，得 ABBC，根据平面ABP平面 ABC，平面 ABP平面 ABCAB，BC平面 ABC，所以 BC平面 ABP，则 BCAP，又 APPC，根据 BCPCC，BC平面 PBC，PC平面 PBC，所以 AP平面 PBC，又 PB平面 PBC，因此 APPB.(2)解：过点 P 作 POAB 于点 O，由于平面 ABP平面ABC，所以 PO平面 ABC，以 OB 所在直线为 x 轴，过 O 作 y轴平行于 BC，OP 所在直线为 z 轴，建立如图 D90 所示的空间直角坐标系.图 D90为何值时，BDAC；题型五探索性问题 例 5(2020 年大数据精选模拟卷)如图640，在三棱锥SA
7、BC 中，底面是边长为 2的正三角形，点 S 在底面 ABC上的射影 O 恰是 BC 的中点，侧棱 SA 和底面成 45角.图 640(1)若 D 为侧棱 SA 上一点，当(2)求二面角 SACB 的余弦值大小.【互动探究】3.如图 641，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为(1)求证：PBPD；(2)若点 M，N 分别是棱 PA，PC 的中点，平面 DMN 与棱PB 的交点为 Q，则在线段 BC 上是否存在一点 H，使得 DQPH，若存在，求 BH 的长，若不存在，请说明理由.图 641(1)证明：记 ACBDO，连接 PO，底面 ABCD 为正方形，OAOCOBOD2.PA PC，POAC，平面 PAC 底面 ABCDAC，PO平面 PAC，PO底面 ABCD.BD底面 ABCD，POBD.PBPD.(2)解：以 O 为坐标原点，射线 OB，OC，OP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图 D91 所示，由(1)可知 OP2.图 D91可得 P(0,0,2)，A(0，2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(2,0,0)，可得 M(0，1,1)，N(0,1,1).
