1、第4讲二次函数与幂函数学生用书P20一、知识梳理1幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)五种幂函数的图象(3)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0时，yx在0，)上为增函数；当0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是二、习题改编1(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k_解析：因为函数f(x)kx是幂函数，所以k1，又函数f(x)的图象过点，
2、所以，解得，则k.答案：2.(必修1P77图象改编)如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为_解析：根据幂函数的性质可知a1，0c1，故acb.答案：acb3(必修1P39B组T1改编)函数g(x)x22x(x0，3)的值域为_解析：由g(x)x22x(x1)21，x0，3，得g(x)在0，1上是减函数，在1，3上是增函数所以g(x)ming(1)1，而g(0)0，g(3)3.所以g(x)的值域为1，3答案：1，3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0时，幂
3、函数yxn是定义域上的减函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(6)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；(3)忽视幂函数的定义域；(4)幂函数的图象掌握不到位1如图，若a0，则函数yax2bx的大致图象是_(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故不正确又a0，所以二次函数图象的对称为x0，故正确答案：2若函数ymx2x2在3，)上
4、是减函数，则m的取值范围是_解析：因为函数ymx2x2在3，)上是减函数，所以，即m.答案：3已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_解析：由题意知解得3a5.答案：(3，5)4当x(0，1)时，函数yxm的图象在直线yx的上方，则m的取值范围是_答案：(，1)学生用书P21幂函数的图象及性质(自主练透)1幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数解析：选C.设幂函数f(x)x，代入点(3，)，得3，解得，所以f(x)x，
5、可知函数为奇函数，在(0，)上单调递增2幂函数f(x)xa210a23(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()A3B4C5 D6解析：选C.因为a210a23(a5)22，f(x)x(a5)22(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)220，从而a4，5，6，又(a5)22为偶数，所以只能是a5，故选C.3若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca Dbab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.4若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m0时
6、，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，所以0m1；当0时，yx在(0，)上为减函数，不妨令x2，根据图象可得212n，所以1n0，若在(0，)上单调递减，则0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()【解析】A项，因为a0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，故B错C项，因为a0，0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故选D.【答案】D角度二二次函数的单调性 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是单调递减的，则实数a的取值范围是_【解析】当a0时，f(x)3x1
7、在1，)上单调递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0【答案】3，0【迁移探究】(变条件)若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，求a为何值？解：因为函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间为1，)，所以解得a3.角度三二次函数的最值问题 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值【解】f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值f(t)t22t2.综上可知
8、，f(x)min角度四二次函数中的恒成立问题 已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_【解析】2ax22x30在1，1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a0时，f(x)ax22x的图象开口向上且对称轴为x.当01，即0a1时，f(x)ax22x的对称轴在0，1的右侧，所以f(x)在0，1上单调递减所以f(x)minf(1)a2；(3)当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下且对称轴x0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0，则一次函数yaxb为增
9、函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而f(1)，则()Aa0，4ab0 Ba0，2ab0 Daf(1)，f(4)f(1)，所以f(x)先减后增，于是a0，故选A.4.幂函数yxm24m(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A0 B1C2 D3解析：选C.因为yxm24m (mZ)的图象与坐标轴没有交点，所以m24m0，即0m0，所以01，即a2xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合
10、图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5a0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_解析：当x0，f(x)f(x)(x1)2，因为x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.所以mn的最小值是1.答案：15已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意知f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又当x(0，1时，x的最小值为0，x的最大值为2.所以2b0.故b的取值范围是2，0
