1、专题测试五平面解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若直线2mxy60与直线(m3)xy70平行，则m的值为()A1B1 C1或1D3解析：选B.本题考查两条直线平行的判定因为两条直线平行，所以有2m(1)1(m3)0，解得m1，易知此时这两条直线与y轴的交点不同2与圆x2y26x2y90有相同的圆心且经过点(1，1)的圆的方程是()A(x3)2(y1)28B(x3)2(y1)28C(x3)2(y1)24D(x3)2(y1)24解析：选C.本题考查简单的圆系方程已知圆的标准方程为(x3)2(y1)21，故待求的圆的方程可设为(x3)2(y1)2r2，又所求的圆过点(1，
2、1)，所以r24，故所求圆的方程为(x3)2(y1)24.3已知一抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其图象上一点P(1，m)到焦点的距离为3，则此抛物线的方程为()Ax28yBy8x2Cy24xDy28x解析：选D.本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程及其求法根据题意设抛物线的方程为y22px(p0)，抛物线上一点P(1，m)到焦点的距离为3，点P到准线的距离为3，13，解得p4，抛物线的方程为y28x.4已知椭圆1和双曲线1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为()AxyByxCxyDyx解析：选D.由题意知2m23n23m25n2，得m28n2，所以1的渐近线方程为0，将m28n2代入整
3、理得yx.5如果双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线xy0平行，则双曲线的离心率为()A.BC2D3解析：选C.因为yx与xy0平行，所以，得ba，c2a，所以e2.6已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，设椭圆与抛物线y24x的交点P到点F(1，0)的距离为，则椭圆的标准方程为()A.1B1C.1D1解析：选D.设P(x0，y0)，根据题意知x0(1)，所以x0，代入y24x，得y0，所以P.由椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，则解得所以椭圆的标准方程为1.7过椭圆1的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|2，则直线AB的方程为()Axy30Bxy30C.xy30Dxy30
4、解析：选D.由题意知，椭圆1的右焦点为F(3，0)，设直线AB的方程为xty3，代入椭圆方程1中得(t24)y26ty30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2，所以|AB|2，解得t22，所以t，所以直线AB的方程为xy3，即xy30.选D.8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则()A.BC.D解析：选B.过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，再过A作AC垂直BE于C.设|BC|a，由于直线AB的倾斜角为30，因此，|AB|2a.由|AD|AF|，|BF|BE|
5、，由|AD|BE|2a，|AD|a|CE|2a，|AD|CE|a，又|AD|CE|，所以|AD|CE|，从而|AF|，|BF|，于是.9设抛物线x22py(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线交于点C，则()A.0B0C.0D0解析：选A.易知点F的坐标为，设直线AB的方程为ykx，与抛物线方程联立得，整理得x22pkxp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p2.由x22py(p0)可得y，所以y，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，所以kACkBC1，所以ACBC，所以0.10.如图，已知圆C的方程为x2y21，P是双
6、曲线1上的一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则的取值范围为()A.B.C.D解析：选B.连接OA，OP，设APB2，则|PA|PB|cos 2|PA|2cos 2(|OP|21)cos 2，又sin ，所以cos 212sin21，所以(|OP|21)|OP|23.设t|OP|24，则yt3，y10，所以yt3为增函数，所以43.11我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，若F1PF260，则这一对相关曲线中椭圆的离心率e()A.BC.D解析：选A.设|F1P|m，|F2P|n，|F1F2|2c，不妨令m
7、n，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 60，即4c2m2n2mn，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，由椭圆及双曲线的定义，得mn2a1，mn2a2，所以ma1a2，na1a2，代入化简得，4c23aa，由椭圆和双曲线的离心率互为倒数知1，所以a2，代入整理得，3c44c2aa0，两边同除以a得，3e44e210，解得e2或e21(舍去)，所以椭圆的离心率e.12过椭圆1上一点M作圆x2y22的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积的最小值为()A.BC1D解析：选B.设M(x0，y0)，则12|x0y0|
8、3.由四点M，A，O，B共圆知，四点所在圆的方程为，于是A，B的坐标必满足方程组解得，x0xy0y2，即为直线l的方程，于是可得P，Q，那么SPOQ.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知双曲线C1与抛物线C2：y28x有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M，若双曲线C1的焦距为实轴长的2倍，则|MF| 解析：易知F(2，0)，设双曲线C1的方程为1(a0，b0)，由题意知c2，2c4a，则a1，b2c2a23，所以双曲线C1的方程为x21，与抛物线C2的方程y28x联立，解得x3或x(舍去)，所以点M的横坐标xM3，结合抛物线的定义可得|MF|xM25.答案：514过
9、抛物线x24y上一点M(x0，y0)(x00)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N(x1，y1)，则x0x1的最小值为 解析：由x24y，得yx2，则yx，抛物线的准线方程为y1.因为点M(x0，y0)是抛物线x24y上一点，所以y0x，且过点M的抛物线的切线的斜率kx0，切线方程为yy0x0(xx0)，即yxx0(xx0)，令y1，得x1x0，所以x0x1x02，所以x0x1的最小值为2.答案：215已知P为双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆O1：(x5)2y24和圆O2：(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值为 解析：由题意知点O1，O2分别是双曲线1的左右焦点，由双曲线的定义
10、知|PO1|PO2|6，又圆O1的半径长为2，圆O2的半径长为1，易知|PM|PN|(|PO1|2)(|PO2|1)|PO1|PO2|33.答案：316如图所示，已知椭圆C1：y21，双曲线C2：1(a0，b0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为 解析：由题意知，|OA|，设OA所在的渐近线的方程为ykx(k0)，A(x0，kx0)(x00)，则x0，即A，进而AB的一个三等分点的坐标为，由该点在椭圆C1上，得1，即1，解得k2，即2，于是ca，所以C2的离心率e.答案：三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程
11、或演算步骤)17(10分)已知抛物线y22px(p0)，过点C(2，0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解：(1)设l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24x.(2)(1)中(*)式可化为y24my80，y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB| |y1y2| ，由
12、得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以，直线l的方程为xy20或xy20.18(12分)已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？并说明理由解：(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2(r0)，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)，由
13、得(1k2)x22k(1k)x(1k)220，点P的横坐标1一定是该方程的解，故可得xA，同理，xB，所以kAB1kOP，所以直线AB和OP一定平行19(12分)过抛物线y24x的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B点和C，D点，直线AB的倾斜角为锐角，且|AB|20.(1)求四边形ACBD的面积；(2)设直线l过点(4，3)且与直线AB平行，求抛物线上的点到直线l的最小距离解：(1)由题知抛物线y24x的焦点为F(1，0)，设直线AB的斜率为k(k0)，则直线AB的方程为yk(x1)，代入抛物线方程，得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，
14、y2)，则x1x2，即|AB|x1x2220，18，解得k2，因为k0，所以k，直线AB的方程为x2y10.直线CD的斜率为2，直线CD的方程为y2(x1)，同理，|CD|25，因为ABCD，所以四边形ACBD的面积为|AB|CD|20550.(2)由题意知直线l的方程为y3(x4)，即x2y100，设直线l：x2ym0与抛物线相切，代入抛物线方程，得y28y4m0，由6416m0，得m4，即直线l：x2y40与抛物线相切，由平行线间的距离得l与l间的距离为，即抛物线上的点到直线l的最小距离为.20(12分)已知椭圆E：1(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x2y20与x轴，y轴
15、分别交于点A，B.(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，求a的取值范围解：(1)由椭圆的离心率e，得ac，直线l与x轴交于A点，A(2，0)，a2，c，b，椭圆方程为1.(2)由e，可设椭圆方程为1，联立得6y28y4a20，若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y28y4a20在y上有解设f(y)6y28y4a2，即a24，故a的取值范围是a2.21(12分)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；
16、(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得|MP|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)，F(c，0)(c0)，由坐标原点O到直线xyc0的距离为，得，解得c1.又e，故a，b1.所求椭圆的标准方程为y21.(2)假设存在点M(m，0)(0m1)满足条件，则以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得(12k2)x24k2x2k220，0恒成立，x1x2，x1x2.设线段PQ的中点为N(x0，y0
17、)，则x0，y0k(x01).|MP|MQ|，MNPQ，kMNkPQ1，即k1，m.k20，0m.22(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴交于点M，在第一象限内是否存在A点，使得AM与椭圆相切？若存在，求出A点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由e，得a2b，把点代入椭圆方程可得：1b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)假设存在A(x1，y1)(x10，y10)，则B(x1，y1)，直线AB的斜率kAB，又ABAD，所以直线AD的斜率k，设直线A
18、D的方程为ykxm，D(x2，y2)，由题意知k0，m0，由可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m，由题意知，x1x2，所以kBD，所以直线BD的方程为yy1(xx1)，令y0，得x3x1，即M(3x1，0)，可得kAM.设过点A的直线l：ytxp与椭圆相切，则把ytxp代入y21，得(14t2)x28ptx4p240有两个相等实根，所以(8pt)244(p21)(14t2)0，所以4t2p21.又方程的解为x1，即x1，y1，所以t.若AM是椭圆的切线，则，即x2y，又因为y1，所以x，y，所以x1，y1，所以在第一象限内存在点A，使得AM与椭圆相切