1、基本初等函数（三角函数）【学法导航】学科网三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题
2、，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正
3、余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：学科网求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质学科网（一）列表综合三个三角函数
4、，的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；学科网求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.（三）正弦型函数的图象变换方法如下：先平移后伸缩的图象得的图象学科网得的图象得的图象得的图象先伸缩后平移的图象得的图
5、象得的图象得的图象得的图象【专题综合】学科网例1.已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2) .说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化学科网例2.已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值学科网解：(1)，又，所以，所以，即；学科网(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)导数00+极大值递减极小值递增而所以说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。例3. 平面直角坐标系有点（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；（2）求的最值.解：（1），学科网 即
6、 （2） ， 又 ， ， ， .说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例4. 设 q , 且 cos2q+2msinq-2m-20 恒成立, 求 m 的取值范围.解法 1 由已知 0sinq1 且 1-sin2q+2msinq-2m-20 恒成立.令 t=sinq, 则 0t1 且 1-t2+2mt-2m-20 对 t 恒成立.故可讨论如下: 学科网(1)若 m0. 即 2m+10. 解得 m, m0. 即 -m2+2m+10. 亦即 m2-2m-10. 解得: 1m1, 则 f(1)0. 即 0m+20. mR, m1.综上所述 m. 即 m 的取值范围是 (, +).解法
7、2 题中不等式即为 2(1-sinq)m-1-sin2q.q, 0sinq1.当 sinq=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR; 当 0sinq. 即 m 的取值范围是 (, +). 学科网说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式【专题突破】一、选择题1有下列命题：终边相同的角的三角函数值相同；同名三角函数的值相同的角也相同；终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；不相等的角，同名三角函数值也不相同学科网其中正确的个数是( )A0B1C2D32角的终边上有一点P（a，a），aR，a0，则sin的值是( )ABC 或D13若+=1，则角x一定不是( )A第四象限角 B第
8、三象限角C第二象限角 D第一象限角学科网4如果，那么下列各式中正确的是( )AcostansinBsincostanCtansincosDcossintan5若A、B是锐角ABC的两个内角，则P（cosBsinA，sinBcosA）在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6若sintan0，则的终边在( )A第一象限B第四象限C第二或第三象限D第一或第四象限学科网7若角的终边与直线y=3x重合且sin0，又P（m，n）是角终边上一点，且|OP|=，则mn等于( )A2B2C4D48下列三角函数：sin（n+）；cos（2n+）；sin（2n+）；cos（2n+1）；sin（2n+1）（
9、nZ）其中函数值与sin的值相同的是（ ）ABCD9若cos（+）=，且（，0），则tan（+）的值为（ ）AB CD10设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）Acos（A+B）=cosCBsin（A+B）=sinC学科网Ctan（A+B）=tanCDsin=sin11下列函数中，同时满足在（0，）上是增函数，为奇函数，以为最小正周期的函数是( )Ay=tanxBy=cosxCy=tanDy=|sinx|12函数y=2tan（3x）的一个对称中心是( ) 学科网A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）二、填空题13若角的终边经过P（3，b），且cos=，则b=_，sin=_1
10、4.若是第三象限角，则=_15tan=m，则 16.函数 y=f(x) 的图象右移，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x的图象，则y=f(x)解析式是_学科网三、解答题17.已知角的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴若角的终边过点P（，y），且sin=y（y0），判断角所在的象限，并求cos和tan的值18. 根据下列三角函数值，求作角的终边，然后求角的取值集合（1）sin=；（2）cos=；（3）tan=1；（4）sin19. 化简：学科网20. 求函数y=2tan（3x+）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性21. 数的最小值为（1）求（2）若，求及此时的最大值22. 已知f
11、(x)是定义在R上的函数，且学科网(1)试证f(x)是周期函数.(2)若f(3)=，求f(2005)的值.专题突破参考答案一、选择题1B 2 C 3D 4D 5 D 6 D 7A 8C 9B 10B11A 12 C二、填空题134 14.sincos 15 16.y=tan(x+) 三、解答题17. 解：依题意，点P到原点O的距离为|OP|=，sin=yy0，9+3y2=16y2=，y=学科网点P在第二或第三象限当点P在第二象限时，y=，cos=，tan=；学科网18解：（1）已知角的正弦值，可知MP=，则P点的纵坐标为所以在y轴上取点（0，），过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1、P2两点，
12、则OP1、OP2是角的终边，因而角的取值集合为=2k+，或=2k+，kZ如下图（2）因为OM=，则在x轴上取点（，0），过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1、OP2是所求角的终边，的取值集合为=2k，kZ如下图（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=1，连结OT，OT所在直线与单位圆交于P1、P2两点，OP1、OP2是角的终边，则角的取值集合是=2k+，或=2k+，kZ=k，kZ如下图学科网（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合条件的角的范围如下图，作出正弦值等于的角的终边，正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围如下图中的阴影部分，的取值集合是|2k+2k+，kZ学科网当点P在第三象限时，y=，cos=，tan=19. 解：=1学科网20. 解：由3x+k+，得x（kZ），所求的函数定义域为x|x（kZ），值域为R，周期为，它既不是奇函数，也不是偶函数k3x+k+（kZ），学科网x（kZ）在区间，（kZ）上是单调减函数21. 解： 学科网(1)函数的最小值为， ， ， (2) 学科网 22. 解： (1)由，故f(x+4)= =f(x+8)=f(x+4+4)=f(x)，即8为函数的周期学科网(2)由 f(x+4) =，得f(5) = f(2005)=f(5+2508)=f(5)=
