1、连云港市20142015学年度高三第三次调研考试数学试题参考答案一.填空题1.5; 2.2; 3.28; 4.4; 5.; 6.37; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 13.; 14. .二.解答题15.解：（1）， 2分，3分，5分由题意， 7分（2）由（1）知,9分由正弦定理得， 11分又， 12分14分16（1）平面，平面， 又/,2分在矩形中， 4分，平面平面 6分 （2）连AN交BD于F点，连接FM 8分/且 10分又AM=2ME / 12分又平面,平面/平面. 14分17.（1）在RtPAE中，由题意可知，AP=8，则所以. 2分同理在RtPBF中，PB1,则
2、,所以. 4分故PAE与PFB的面积之和为 5分=8, 当且仅当,即时取等号,故当AE=1km,BF=8km时，PAE与PFB的面积之和最小. 6分(2)在RtPAE中，由题意可知，则同理在RtPBF中，则令， 8分则， 10分令，得，记，当时，单调递减；当时，单调递增所以时，取得最小值， 12分此时，所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小14分18.（1）由题意，解得，椭圆方程为 4分（2）解法一: 6分直线方程为：，联立，得 所以到的距离 8分直线方程为：，联立，得 ,， 10分 12分令,则 14分当且仅当,即等号成立,所以的最大值为. 16分解法二:直线方程为：，联立
3、，得 6分直线方程为：，联立，得 8分 10分 12分令,则 14分当且仅当,即等号成立所以的最大值为. 16分19.(1) 因为,当时,解得. 1分 由,当 ,两式相减，得 2分又因为,所以，所以, 4分由得， 所以 6分(2)由题意得，所以 8分所以 10分故若为中的项只能为 11分()若,则,所以无解 12分（）若 显然不符合题意，符合题意当时，即则设则，即为增函数，故，即为增函数故故当时方程无解，即 是方程唯一解。 15分（）若则,即.综上所述，或 16分20.(1)当a=-1时，f (x)=x2-2x-1,所以函数f(x)在0，1上单调递减， 2分由f (1)= ，即-1-1+b=,
4、解得b=2. 4分(2) f (x)=x2+2ax-1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=-a,因为=4a2+40，f (x)=0有两个不等实根x1,2= 5分当方程f (x)=0在区间(a，+)上无实根时，有解得 6分当方程f (x)=0在区间与(a，+)上各有一个实根时，有f (a)0，或，解得 8分当方程f (x)=0在区间(a，+)上有两个实根时，有解得.综上:当时, f(x)在区间(a，+)上是单调增函数;当时，f(x)在区间(a，)上是单调减函数，在区间(，+)上是单调增函数当时，f(x)在区间(a,),(，+)上是单调增函数,在区间(,)上是单调减函数 10分 (3)设P(x
5、1,f(x1),则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1-1，又设过P点的切线与曲线y=f(x)相切于点Q(x2,f(x2),x1x2，则Q点处的切线方程为y-f(x2)=( x22+2ax2-1)(x-x2),所以f(x1)-f(x2)=( x22+2ax2-1)(x1-x2)，化简，得x1+2x2=-3a 12分因为两条切线相互垂直，所以(x12+2ax1-1)(x22+2ax2-1)= -1，即(4x22+8ax2+3a2-1)(x22+2ax2-1)= -1令t= x22+2ax2-1-(a2+1)，则关于t的方程t(4t+3a2+3)= -1在t上有解， 14分所以3a2+3=-4t
6、-4(当且仅当t=-时取等号)，解得a2,故a的取值范围是 16分ABCDEOG21A.如图，连接DE，交BC于点G由弦切角定理，得 4分而，故，所以 6分又因为，所以DE为圆的直径，所以，由勾股定理可得DB=DC 10分21B.解法一： 设上任意一点在矩阵所对应的变换作用下对应的点，则， 4分由此得 6分代入方程，得. 所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为 10分解法二： 4分设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则，其坐标变换公式为由此得 6分代入方程，得.所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为 10分21C.解法一：将消去参数，得，所以的普通方程为： 4分将曲线
7、的极坐标方程化为直角坐标方程得： 6分由解得或 8分所以与交点的极坐标分别为或 10分解法二：将消去参数，得，所以的普通方程为： 4分所以的极坐标方程为 6分代入，得， 8分所以与交点的极坐标分别为或 10分21D.证明：因为，所以. 同理. . 4分相加得 6分从而.由都是正数，得，因此. 10分ADPQBC（第22题）xzy22.解：取中点，连结，则，为直角三角形，平面. 2分以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，3分（1）设，则5分当时，长度最小值为6分（2）由（1）知，设平面的一个法向量为n=由n,n得，化简得，取n设与平面所成角为，则.故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为.10分23(1)当n=3时, 2分当n=4时, . 4分(2)证明:由二项式定理得,若为奇数,则 分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为的形式,其中, 也即,其中,.6分若为偶数,则 类似地,可将上式表示为的形式,其中，也即,其中,. 所以存在，使得等式. 8分同理可得可表示为, 从而有,综上可知结论成立. 10分
