1、第2讲导数与函数的单调性一、知识梳理函数的单调性与导数的关系在(a，b)内函数f(x)可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数常用结论理清三组关系(1)“在某区间内f(x)0(f(x)0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零(3)对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件二、教材衍
2、化1函数f(x)xln x的递减区间为()A(0，1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)答案：A2如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图像，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3，0)上是减函数B函数f(x)在区间(3，2)上是减函数C函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D函数f(x)在区间(3，2)上是单调函数答案：A一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内是增加的，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()答案：(1)(2)二、易错纠偏(1)判断导数值的正负
3、时忽视函数值域这一隐含条件；(2)讨论函数单调性时，分类标准有误1函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数 D减函数解析：选D.因为f(x)sin x10恒成立，所以f(x)在(0，)上是增加的若a0，则当x时，f(x)0；x时，f(x)0)，当f(x)0时，解得x，即函数f(x)的递增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，上是增加的，在上是减少的若a0，则f(x)在(，)上是增加的若a0；当x时，f(x)0时为增函数；f(x)0)，讨论f(x)的单调性解：函数f(x)的定义域为(0，)
4、，f(x)a(x1)1，令f(x)0，则x11，x2，若a1，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数；若0a1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数；若a1，则00，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增函数；当0a1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数求函数的单调区间(师生共研) 已知函数f(x)aln xx(aR)求函数f(x)的单调区间【解】f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，当a10，即a1时，在(0，1a)上f(x)0，在(1a，)上，
5、f(x)0，所以f(x)的递增区间是(0，1a)，递减区间是(1a，)；当1a0，即a1时，在(0，)上，f(x)0时，f(x)x的递减区间是()A(2，)B(0，2)C(，) D(0，)解析：选B.令f(x)10，则2x0，所以x(0，2)，故选B.2已知函数f(x)ln x，求函数f(x)的单调区间解：f(x)ln x，x(0，)，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数故函数f(x)的递增区间为(5，)，递减区间为(0，5)函数单调性的应用(多维探究)角度一比较大小或解不等式 已知
6、函数f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)，对任意实数都有f(x)f(x)0，设F(x)，则不等式F(x)0，知F(x)0，所以F(x)在R上是减少的由F(x)1，所以不等式F(x)的解集为(1，)【答案】B利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式角度二已知函数单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上是减少的，求a的取值范围【解】
7、(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解即a有解，设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1，即a的取值范围是(1，)(2)由h(x)在1，4上是减少的，得当x1，4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.【迁移探究1】(变条件)本例条件变为：若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上是增加的，求a的取值范围解：由h(x)在1，4上是增加的得，当x1
8、，4时，h(x)0恒成立，所以当x1，4时，a恒成立，又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1【迁移探究2】(变问法)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上存在递减区间，求a的取值范围解：h(x)在1，4上存在递减区间，则h(x)有解，又当x1，4时，1，所以a1，即a的取值范围是(1，)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间a，b上是增加(减少)的可知f(x)0(f(x)0)在区间a，b上恒成立，列出不等式(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0，则参
9、数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则参数可取这个值1已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)解析：选A.因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又x时，得f(x)sin xxcos x0，所以f(x)在上是增函数所以ff(1)f(1)f，故选A.2已知函数f(x)2x2ln x在区间1，2上为单调函数，求a的取值范围解：f(x)4x，若函数f(x)在区间1，2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在
10、1，2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1，2上是增加的，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或00.讨论f(x)的单调性【解】f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.因a0，f(x).(1)当0a1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)是增加的，当x时，f(x)2时，00，f(x)是增加的，当x时，f(x)0，f(x)是减少的综上所述，当0a2时，f(x)在内是增加的，在内是减少的，在(1，)内是增加的含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；(3)若
11、根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法已知函数g(x)x3(1a)x22axb，a，bR.求函数g(x)的单调区间解：函数g(x)的定义域为(，)g(x)2x22(1a)x2a(2x2)(xa)，由g(x)0x1或xa，若a0，g(x)在(，a)上为增函数，当x(a，1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上为增函数；若a1，则g(x)0，g(x)在(，)上为增函数；若a1，则当x(，1)时，g(x)0，g(x)在(，1)上为增函数，当x(1，a)时，g(x)0，g(x)在(a，)上为增函数基础题组练1函数f(x)exex，xR的递增区间是()A(0，)B(，0)C(，1) D(1，
12、)解析：选D.由题意知，f(x)exe，令f(x)0，解得x1，故选D.2(2020河南省六校第二次联考)函数yx2ln x的递减区间是()A(3，1) B(0，1)C(1，3) D(0，3)解析：选B.法一：令y10，得3x0，故所求函数的递减区间为(0，1)故选B.法二：由题意知x0，故排除A、C选项；又f(1)40时，函数f(x)，可得函数的极值点为：x1，当x(0，1)时，函数是减函数，x1时，函数是增函数，并且f(x)0，选项B、D满足题意当x0时，函数f(x)0时，exex，所以x(exex)0，又exex0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选A.优解：根据题意
13、知f(1)f(1)，所以函数f(x)为奇函数又f(1)2，所以m2.故选C.6函数y4x2的增区间为_解析：由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x.所以函数y4x2的增区间为.答案：7已知函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为 解析：由f(x)图象特征可得，f(x)在和2，)上大于0，在上小于0，所以xf(x)0或0x或x2，所以xf(x)0的解集为2，)答案：2，)8若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为 (用“”连接)解析：由题意知，函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxco
14、s x，当x时，f(x)0.所以f(x)在区间上是减函数，所以ff(2)f(3)f(3)答案：f(3)f(2)0，解得x1或x；令f(x)0，解得x1.所以f(x)的增区间是和(1，)；f(x)的减区间是.10已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性解：因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为k，而f(x)，由导数的几何意义可知，f(0)b，所以b1，所以f(x)1.则F(x)ax1，F(x)a，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)
15、在R上是减少的；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的 综合题组练1(2020郑州市第二次质量预测)函数f(x)是定义在(0，)上的可导函数，f(x)为其导函数，若xf(x)f(x)ex(x2)且f(3)0，则不等式f(x)0的解集为()A(0，2) B(0，3)C(2，3) D(3，)解析：选B.令g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)ex(x2)，可知当x(0，2)时，g(x)xf(x)是减函数，当x(2，)时，g(x)xf(x)是增函数又f(3)0，所以g(3)3f(3)0.在(0，)上，不等式f(x)0的解集就是xf(x)0的
16、解集，又g(0)0，所以f(x)0的解集是(0，3)，故选B.2设函数f(x)x，且f(mx)mf(x)0对任意x1，)恒成立，则实数m的取值范围是 解析：由f(mx)mf(x)0得mxmx0对任意x1，)恒成立，整理得2mx恒成立，即2mx20时，2x21，显然当x1时y2x2取得最小值为2，无最大值，不符合题意；当m1，当x1时y2x2取得最小值为2，12，解得m1.综上，实数m的取值范围是m1.答案：(，1)3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g
17、(x)在区间(2，1)内存在递减区间，求实数a的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得即故b0，c1.(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)的增区间为(，0)，(a，)，减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2x成立，即a.因为x(2，1)，所以x(1，2)，则x22，当且仅当x，即x时等号成立，所以a2，则a1时，g(x)0.解：(1)由题意得f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)是增加的(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，从而g(x)0.
