1、第1讲函数的图象与性质做真题题型一函数的概念及表示1(2015高考全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3B6C9D12解析：选C.因为21，所以f(log212)2log21216.所以f(2)f(log212)369.故选C.2(2017高考全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：当x0时，由f(x)f(x)(x1)(x1)2x1，得x0；当01，即2xx0，因为2xx2000，所以0时，f(x)f(x)2x2x2201，所以x.综上，x的取值范围是(，)答案：(，)题型二函数的图象及其应用1(2019高考全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()解
2、析：选D.因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；因为f()0，所以排除C；因为f(1)，且sin 1cos 1，所以f(1)1，所以排除B.故选D.2(2019高考全国卷)函数y在6，6的图象大致为()解析：选B.因为f(x)，所以f(x)f(x)，且x6，6，所以函数y为奇函数，排除C；当x0时，f(x)0恒成立，排除D；因为f(4)7.97，排除A.故选B.3(2016高考全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A0BmC2mD4m解析：选B.因为f(x)f(x)
3、2，y1，所以函数yf(x)与y的图象都关于点(0，1)对称，所以i2m，故选B.题型三函数的性质及应用1(2019高考全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()Aff(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f解析：选C.根据函数f(x)为偶函数可知，f(log3)f(log34)f(log34)，因为02220f(2)f(log3)故选C.2(2017高考全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2B1，1C0，4D1，3解析：选D.因为函数f(x)在(，)单调递减，且
4、f(1)1，所以f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，所以1x3，故选D.3(2018高考全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)，若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2D50解析：选C.因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，所以f(x)f(x)，且f(0)0.因为f(1x)f(1x)，所以f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，所以f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1
5、)2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C.山东省学习指导意见1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用4理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性及周期性的含义5学会运用函数图象理解和研究函数的性质函数及其表示考法全练1函数ylog2(2x4)的定义域是()A(2，3)B(2，)C(3，)D(2，3)(3，)解析：选D.由题意得
6、解得x2且x3，所以函数ylog2(2x4)的定义域为(2，3)(3，)，故选D.2已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2B2C3D3解析：选B.由题意得，f(2)a2b5.f(1)a1b3，联立，结合0a1时，yln x22；当x1时，yex2(2，e2故函数f(x)的值域为(2，e2(2，)答案：2(2，e2(2，)5已知函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是_解析：当x10，即x1时，f(x1)(x1)1x，不等式变为xx(x1)1，即x21，解得xR，故x(，1)当x10，即x1时，f(x1)x11x，不等式变为xx(x1)1，即x22x1
7、0，解得1x1，故x1，1综上可知，所求不等式的解集为(，1答案：(，1(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解 函数的图象及其应用典
8、型例题命题角度一函数图象的识别 (1)(2018高考全国卷)函数f(x)的图象大致为()(2)已知定义域为0，1的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x1)的图象可能是()(3)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为()【解析】(1)当x0时，因为exex0，所以此时f(x)2，故排除C，选B.(2)因为f(x1)f(x1)，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(x1)的
9、图象，故选B.(3)法一：当点P位于边BC上时，BOPx，0x，则tan x，所以BPtan x，所以AP，所以f(x)tan x，可见yf(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，BOPx，x，则BPAP.当点P位于边AD上时，BOPx，x，则tan(x)tan x，所以APtan x，所以BP，所以f(x)tan x，根据函数的解析式可排除D，故选B.法二：当点P位于点C时，x，此时APBPACBC1，当点P位于CD的中点时，x，此时APBP21，故可排除C，D，当点P位于点D时，x，此时APBPADBD1，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故可排除A，
10、故选B.【答案】(1)B(2)B(3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断 命题角度二函数图象的应用 (1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)(2)(2019高考全国卷)设函数f
11、(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0，1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()ABCD【解析】(1)将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)作出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减(2)当1x0时，0x11，则f(x)f(x1)(x1)x；当1x2时，0x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)由此作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知当2e01，10，所以f(x)0，可排除选
12、项D，故选B.2.某地一年的气温Q(t)(单位：)与时间t(月份)之间的关系如图所示已知该年的平均气温为10 ，令C(t)表示时间段0，t的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小因为12个月的平均气温为10 ，所以当t12时，平均气温应该为10 ，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.函数的性质
13、及应用典型例题 (1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记af(2)，bf(1)，cf(3)，则a，b，c之间的大小关系为()AabcBbacCcbaDacb(2)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，)上单调递增，且f(1)0，则f(x1)0的解集为()A(，2)(1，0)B(0，)C(2，1)(1，2)D(2，1)(0，)(3)已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0B2C4D8(4)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f_【解析】(1)因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(
14、x2)，所以，得函数g(x)在(0，)上是减函数，又cf(3)f(3)，所以g(1)g(2)g(3)，即bac，故选B.(2)由f(x)为奇函数，在(0，)上单调递增，且f(1)0，可得f(1)0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x1)0，可得1x11，解得2x0，所以f(x1)0的解集为(2，1)(0，)(3)f(x)2，设g(x)，因为g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)maxg(x)min0.因为Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以Mm2g(x)max2g(x)min4.(4)因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以ff，又
15、当2x3时，f(x)x，所以f，所以f.【答案】(1)B(2)D(3)C(4)(1)函数的3个性质及应用奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解(2)函数性质综合应用的注意点根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能一些题目中，函数的
16、周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题 对点训练1已知函数f(x)满足f(x1)f(x1)2，则以下四个选项一定正确的是()Af(x1)1是偶函数Bf(x1)1是奇函数Cf(x1)1是偶函数Df(x1)1是奇函数解析：选D.法一：因为f(x1)f(x1)2，所以f(x)f(2x)2，所以函数yf(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数yf(x1)1的图象可看作是由yf(x)的图象先向左平移1个单位长
17、度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数yf(x1)1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数yf(x1)1是奇函数，故选D.法二：由f(x1)f(x1)2，得f(x1)1f(x1)10，令F(x)f(x1)1，则F(x)F(x)0，所以F(x)为奇函数，即f(x1)1为奇函数，故选D.2定义在R上的函数f(x)对任意0x2x1都有0的解集是()A(2，0)(0，2)B(，2)(2，)C(，2)(0，2)D(2，0)(2，)解析：选C.由1，可得0，得x2或0x2.故选C.3已知函数yf(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24，8，当x10恒成立；f(x4)f(x)；yf(
18、x4)是偶函数若af(6)，bf(11)，cf(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是()AabcBbacCacbDcba解析：选B.由知函数f(x)在区间4，8上为单调递增函数；由知f(x8)f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以cf(2 017)f(25281)f(1)，bf(11)f(3)；由可知函数f(x)的图象关于直线x4对称，所以bf(3)f(5)，cf(1)f(7)因为函数f(x)在区间4，8上为单调递增函数，所以f(5)f(6)f(7)，即bac.一、选择题1已知函数f(x)则f(f(2)()A4B3C2D1解析：选A.因为f(x)所以f(2)(2)2，所以f
19、(f(2)f(2)224.2下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，)上单调递减的是()AyByx21Cy2xDylog2|x|解析：选B.因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又yx21在(0，)上单调递减，ylog2|x|在(0，)上单调递增，所以排除D.故选B.3(2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1解析：选D.通解：依题意得，当x0时，y，所以函数y在(0，)上单调递减，所以排除选项B，D；又当x1时，ye2的x的取值范围是()A(2，)B(1，)C(2，)D(3，)解析：选B.由f(x)e
20、xaex为奇函数，得f(x)f(x)，即exaexaexex，得a1，所以f(x)exex，则f(x)在R上单调递增，又f(x1)e2f(2)，所以x12，解得x1，故选B.8.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数tf(x)的图象大致为()解析：选D.当x由0时，t从0，且单调递增，当x由1时，t从0，且单调递增，所以排除A、B、C，故选D.9(2019福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)x2xa的解集中有且仅有1个整数，则实数a
21、的取值范围是()Aa|2a1Ba|2a1Ca|2a2Da|a2解析：选B.根据题意可知f(x)不等式f(x)x2xa等价于ax2xf(x)，令g(x)x2xf(x)作出g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)2，g(1)1，g(1)2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则2a1，即实数a的取值范围是a|2a1故选B.10(2019福州市质量检测)已知函数f(x)当xm，m1时，不等式f(2mx)f(xm)恒成立，则实数m的取值范围是()A(，4)B(，2)C(2，2)D(，0)解析：选B.易知函数f(x)在xR上单调递减，又f(2mx)xm，即2xm在xm，m1上恒成立，所以2(m1)m
22、，解得m2，故选B.11(多选)已知函数f(x)ln(x2)ln(6x)，则()Af(x)在(2，6)上单调递增Bf(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2Cf(x)在(2，6)上单调递减Dyf(x)的图象关于直线x4对称解析：选BD.f(x)ln(x2)ln(6x)ln(x2)(6x)，定义域为(2，6)令t(x2)(6x)，则yln t因为二次函数t(x2)(6x)的图象的对称轴为直线x4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x4时，t有最大值，所以f(x)maxln(42)ln(64)2ln 2，故选BD
23、.12(多选)已知为圆周率，e为自然对数的底数，则()Ae3eB3e23e2Cloge3loge解析：选CD.已知为圆周率，e为自然对数的底数，所以3e2，所以1，e3e，故A错误；因为0e20，所以，所以3e23e2，故B错误；因为3，所以loge3，可得log3eloge，则log3e3loge，故D正确故选CD.13(多选)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去可得a2.故f(a2)f(0)421.答案：15已知a0且a1，函数f(x)在R上单调递增，那么实数a的取值范围是_解析：依题意，解得10且a1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是_解析：由f(x2)f(2x)，得f(x)f(4x)，即函数yf(x)的图象关于直线x2对称又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4x)f(x)f(x)，即f(4x)f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数则f(3)f(34)f(1)11.画出函数f(x)与函数yloga(x2)在(2，6)上的图象如图所示要使函数f(x)与yloga(x2)的图象有4个不同的交点，则有解得a8，即实数a的取值范围是(8，)答案：1(8，)