1、小专题六电磁感应中的“杆+导轨”模型1.(多选)如图所示,两根光滑的平行金属导轨竖直放置在匀强磁场中,磁场和导轨平面垂直,金属杆ab与导轨接触良好可沿导轨滑动,开始时开关S断开,当ab杆由静止下滑一段时间后闭合S,则从S闭合开始计时,ab杆的速度v与时间t的关系图象可能正确的是(ACD)解析:若ab杆速度为v时,S闭合,则ab杆中产生的感应电动势E=BLv,ab杆受到的安培力F=,如果安培力等于ab杆的重力,则ab杆匀速运动,A项正确;如果安培力小于ab杆的重力,则ab杆先加速最后匀速,C项正确;如果安培力大于ab杆的重力,则ab杆先减速最后匀速,D项正确;ab杆不可能做匀加速运动,B项错误。
2、2.(多选)如图所示,阻值为R的金属棒从图示位置ab分别以v1,v2的速度沿光滑水平导轨(电阻不计)匀速滑到ab 位置,若v1v2=12,则在这两次过程中(AC)A.回路电流I1I2=12B.产生的热量Q1Q2=14C.通过任一截面的电荷量q1q2=11D.外力的功率P1P2=12解析:两种情况下产生的感应电动势分别为E1=BLv1,E2=BLv2,电阻都为R,回路电流为I1=,I2=,故电流之比为=,A正确;两种情况下所用时间=,故产生热量=,B错误;两种情况下磁通量变化量相同,则通过任一截面的电荷量q=t=t=,即q1q2=11,C正确;由于金属棒匀速运动,外力的功率等于回路中的电功率,故
3、=,D错误。3.(多选)如图所示,在空间存在着竖直向下的匀强磁场,磁感应强度为B。一水平放置的长度为L的金属杆ab与圆弧形金属导轨P,Q紧密接触,P,Q之间接有电容为C的电容器。若ab杆绕a点以角速度沿逆时针方向匀速转动,则下列说法正确的是(AC)A.电容器与a相连的极板带正电B.金属杆ab所受的安培力是阻力C.电容器所带电荷量是CBL2D.金属杆中的电流方向从b流向a解析:根据右手定则判断可知a端电势高,电容器与a相连的极板带正电;由于电路中没有电流,不受安培力作用,选项A正确,B,D错误;电容器两端的电压等于导体棒ab产生的电动势,电容器所带电荷量是q=CE=CBL2,选项C正确。4.(多
4、选)一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B,两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内,如图所示,磁感应强度B=0.5 T,导体棒ab,cd长度均为0.2 m,电阻R均为0.1 ,重力均为0.1 N,现用力向上拉动导体棒ab,使之匀速上升(导体棒ab,cd与导轨接触良好),此时cd静止不动,则ab上升时,下列说法正确的是(BC)A.ab受到的拉力大小为2 NB.ab向上运动的速度为2 m/sC.在2 s内,拉力做功,有0.4 J的机械能转化为电能D.在2 s内,拉力做功为0.6 J解析:对导体棒cd,有mg=BIl,而I=,得v=2 m/s,故选项B正确;对导体棒ab,有F=mg+BIl=0.2 N
5、,选项A错误;在2 s内拉力做功转化为ab棒的重力势能和电路中的电能,拉力做功获得的机械能E机=Fvt=0.8 J,增加的重力势能Ep=mgvt=0.4 J,则转化为的电能E电=E机-Ep=0.4 J,选项C正确,D错误。5.(多选)如图所示,相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为,上端接有定值电阻R,匀强磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放,当速度达到v时开始匀速运动,此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,并保持拉力的功率恒为P,导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好,不计导轨和导体棒的电阻,重力加速度为g。下列选项正确的
6、是(AC)A.P=2mgvsin B.P=3mgvsin C.当导体棒速度达到时,加速度大小为sin D.在速度达到2v以后匀速运动的过程中,R上产生的焦耳热等于拉力所做的功解析:导体棒由静止释放,速度达到v时,回路中的电流为I,则根据共点力的平衡条件,有mgsin =BIL。对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,以2v的速度匀速运动时,则回路中的电流为2I,则根据平衡条件,有F+mgsin =B2IL,所以拉力F=mgsin ,拉力的功率P=F2v=2mgvsin ,故选项A正确,B错误;当导体棒的速度达到时,回路中的电流为,根据牛顿第二定律,得mgsin -BL =ma,解得a=sin ,选
7、项C正确;当导体棒以2v的速度匀速运动时,根据能量守恒定律,重力和拉力所做的功之和等于R上产生的焦耳热,故选项D错误。6.如图甲所示,相距L=0.5 m、电阻不计的两根长金属导轨,各有一部分在同一水平面上,另一部分沿竖直面。质量均为m=50 g、电阻均为R=1.0 的金属细杆ab,cd与导轨垂直接触形成闭合回路,杆与导轨之间的动摩擦因数=0.5。整个装置处于磁感应强度大小B=1.0 T、方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在水平拉力F作用下沿导轨向右运动时,从t=0时刻开始释放cd杆,cd杆的vcdt图象如图乙所示(在01 s和23 s内,图线为直线)。(1)在01 s内,ab杆做什么运动?(2
8、)在01 s内,ab杆的速度为多少?(3)已知12 s内,ab杆做匀加速直线运动,求这段时间内拉力F随时间变化的函数方程。解析:(1)在01 s内,cd杆的vt图线为倾斜直线,因此cd杆做匀变速直线运动,加速度为a1=4.0 m/s2因此cd杆受向上的摩擦力作用,如图所示。由于f=N=F安=BIL且大小恒定因此回路中的电流一定,由于I=,故回路的E一定;由E=BLv可知,ab杆切割磁感线的速度一定,因此ab杆向右做匀速直线运动。(2)在01 s内,对cd杆在竖直方向上根据牛顿第二定律有mg-f1=ma1在水平方向上N1-=0,另f1=N1,=I1LB,I1=,E1=BLv1解出ab杆的速度v1
9、=4.8 m/s。(3)23 s内,由题中图象可求出cd杆的加速度a2=-4 m/s2,同理可求出ab杆的速度v2=11.2 m/s在12 s内,ab杆做匀加速运动,加速度为a=6.4 m/s2对ab杆,根据牛顿第二定律有F-mg-BIL=maab杆在t时刻的速度v=v1+a(t-1)回路中的电流I=联立可得F=0.8t+0.37(N)。答案:(1)匀速直线运动(2)4.8 m/s(3)F=0.8t+0.37(N)7.如图所示,倾角为=30的斜面上有一边长为L、质量为3m、内阻为R的线框abcd通过柔软的细绳与一质量为m的小球相连;斜面上两个宽为L的区域P1Q1Q2P2及P3Q3Q4P4 皆存
10、在有理想边界的匀强磁场,磁感应强度大小皆为B,方向垂直于斜面向上。已知斜面光滑,且无磁场区域的宽度xL。初始时,线圈abcd的ab边与P1Q1重合,在外力作用下静止在斜面上,撤去外力后线圈沿斜面向下运动,在ab边未过P2Q2前,线框已经开始匀速运动,求:(1)线框匀速运动的速度;(2)线框穿过边界P1Q1的时间及这段时间通过线框截面的电荷量;(3)若线圈穿出区域P3Q3Q4P4前已经做匀速运动,线圈通过两个磁场区域产生的总焦耳热。解析:(1)线框沿斜面下滑,当做匀速直线运动时,由平衡条件有3mgsin =mg+F安,线框的ab边切割磁感线,产生感应电动势为E=BLv,线框中的感应电流为I=,a
11、b边所受的安培力为F安=BIL,联立以上式子,可解得v=。(2)线框ab边在通过区域P1Q1Q2P2的运动过程,由动量定理有(3mgsin -mg)t-t=mv-0,其中=BL,=,则有(3mgsin -mg)t-t=mv-0,且有 t=L,解得线框ab通过区域P1Q1Q2P2的时间为t=+;在电磁感应过程中,通过线圈的电荷量为q=t=t=t=。(3)因xL,线框ab边进入无磁场区时,先匀速再加速运动,当线圈ab进入区域P3Q3Q4P4后,先做减速运动再做匀速直线运动,直到线框整个离开区域P3Q3Q4P4,由能量守恒可得mg(3sin -1)(3L+x)=Q+mv2,由此可得线圈通过两个磁场区
12、域产生的总焦耳热Q=mg(3L+x)-。答案:(1)(2)+(3)mg(3L+x)-。8.真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型,图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨,电阻忽略不计,ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒,通过绝缘材料固定在列车底部,并与导轨良好接触,其间距也为l,列车的总质量为m。列车启动前,ab,cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下,如图1所示,为使列车启动,需在M,N间连接电动势为E的直流电源,电源内阻及导线电阻忽略不计,列车启动后电源自动关闭。(1
13、)要使列车向右运行,启动时图1中M,N哪个接电源正极,并简要说明理由;(2)求刚接通电源时列车加速度a的大小;(3)列车减速时,需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域,磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0,此时ab,cd均在无磁场区域,试讨论:要使列车停下来,前方至少需要多少块这样的有界磁场?解析:(1)列车要向右运动,安培力方向应向右。根据左手定则,接通电源后,金属棒中电流方向由a到b、由c到d,故M接电源正极。(2)由题意,启动时ab,cd并联,设回路总电阻为R总,由电阻的串并联知识得R总=, 设回路总电流为I,根据闭合电路欧姆定律有I=, 设两根金
14、属棒所受安培力之和为F,有F=IlB, 根据牛顿第二定律有F=ma, 联立式得,a=。 (3)设列车减速时,cd进入磁场后经t时间ab恰好进入磁场,此过程中穿过两金属棒与导轨所围回路的磁通量的变化为,平均感应电动势为E1,由法拉第电磁感应定律有E1=, 其中=Bl2, 设回路中平均电流为I,由闭合电路欧姆定律有I=, 设cd受到的平均安培力为F,有F=IlB, 以向右为正方向,设t时间内cd受安培力冲量为I冲,有I冲=-Ft, 同理可知,回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值,设回路进出一块有界磁场区域安培力冲量为I0,有I0=2I冲, 设列车停下来受到的总冲量为I总,由动量定理有I总=0-m
15、v0, 联立式得=。讨论:若恰为整数,设其为n,则需设置n块有界磁场;若不是整数,设的整数部分为N,则需设置N+1块有界磁场。答案:(1)见解析(2)(3)见解析9.磁流体发电是一种新型发电方式,图1和图2是其工作原理示意图。图1中的长方体是发电导管,其中空部分的长、高、宽分别为l,a,b,前后两个侧面是绝缘体,上下两个侧面是电阻可略的导体电极,这两个电极与负载电阻RL相连。整个发电导管处于图2中磁场线圈产生的匀强磁场里,磁感应强度为B,方向如图所示。发电导管内有电阻率为的高温、高速电离气体沿导管向右流动,并通过专用管道导出。由于运动的电离气体受到磁场作用,产生了电动势。发电导管内电离气体流速
16、随磁场有无而不同。设发电导管内电离气体流速处处相同,且不存在磁场时电离气体流速为v0,电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比,发电导管两端的电离气体压强差p维持恒定,求:(1)不存在磁场时电离气体所受的摩擦阻力F多大;(2)磁流体发电机的电动势E的大小;(3)磁流体发电机发电导管的输入功率P。解析:(1)不存在磁场时,由力的平衡得F=abp。(2)设电离气体流速为v时,磁流体发电机的电动势E=Bav导管中电离气体中的电流I=电离气体受到的安培力F安=设F为存在磁场时电离气体受到的摩擦阻力,无磁场时摩擦阻力为F,依题意=无磁场时有abp=F存在磁场时有abp=F安+F则v=E=。(3)磁流体发电机发
17、电导管的输入功率P=abvp=。答案:(1)abp(2)(3)10.用密度为d、电阻率为、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abba。如图2所示,金属方框水平放在磁极的狭缝间,方框平面与磁场方向平行。设匀强磁场仅存在于相对磁极之间,其他地方的磁场忽略不计。可认为方框的aa边和bb边都处在磁极之间,磁场的磁感应强度大小为B。方框从静止开始释放,其平面在下落过程中保持水平(不计空气阻力)。(1)求方框下落的最大速度vm(设磁场区域在竖直方向足够长);(2)当方框下落的加速度为时,求方框的发热功率P;(3)已知方框下落时间为t时,下落高度为h,其速度为vt(vtvm)。若在同一时间t内,方框内产生的热与一恒定电流I0在方框内产生的热相同,求恒定电流I0的表达式。解析:(1)方框质量m=4LAd,方框电阻R=,方框下落速度为v时,产生的感应电动势E=B2Lv,感应电流I=,方框下落过程,受到重力G及安培力F,G=mg=4LAdg,方向竖直向下,F=BI2L=,方向竖直向下,当F=G时,方框达到最大速度,即v=vm,则=4LAdg,方框下落的最大速度vm=。(2)方框下落加速度为时,有mg-BI2L=m,则I=。方框的发热功率P=I2R=。(3)根据能量守恒定律,有mgh=m+Rt,解得恒定电流I0的表达式I0=。答案:(1)(2)(3)
