1、2015-2016学年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1设集合A=x|x3，B=y|y=2x，x0），则AB=（）A（0，1） B（0，3） C（1，+） D（1，3）2已知“aR，则“a=2”是“复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图分别如图所示，则标准差最大的是（）A B C D4下列有关命题正确的是（）A若命题p：x0R，xx
2、0+10，则p：xR，x2x+10B命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题C已知相关变量（x，y）满足线性回归方程=23x，若变量x增加一个单位，则y平均增加3个单位D已知随机变量XN（2，2），若P（Xa）=0.32，则P（X4a）=0.685把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A B C D6某台小型晚会由6个不同的节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（）A194种 B193种 C192种 D191
3、种7执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A10 B20 C100 D1208已知sin2=，则cos2（）的值是（）A B C D9如图所示，直线xy+2=0与抛物线y=x2相交于A，D两点，分别过A，D作平行于y轴的直线交x轴于B，C两点，随机向梯形ABCD内投一点P，则点P落在抛物线弓形AOD内（图中阴影部分）的概率是（）A B C D10已知二项式（3x）n（nN*）展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A B2 C D11已知O是锐角ABC的外接圆圆心，A=60，+=m，则m的值为（）AB C1 D112定义在R上的奇函数f（x），当x0时，
4、f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB2a1 C12aD2a1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知幂函数f（x）图象过点P（4，8），则f（16）=14已知mR，向量=（m，1），=（12，4），=（2，4）且，则向量在向量方向上的投影为15已知实数x，y满足，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是16观察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19，根据以上规律，把m3（mN*且m2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤）17已知向量=（2cosx，1），=（sinx，cos2x），设函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosB=bcosC，求f（）的取值范围18我市为了检测空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采用10分制，保留一位小数），现随机抽取20天的指数，绘制成如图所示的统计图（以整数部分为茎，小数部分为叶），设指数不低于8.5的视为当天空气质量为优良（1）求从这20天中随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（2）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）若从我市总体空气质量指数中随机抽取
6、3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望19如图所示，在三棱锥PABC中，点P在平面ABC上的射影D与AC的中点重合，已知BC=2AC=8，AB=4（1）证明：平面PBC平面PAC；（2）若直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求三棱锥PABC的体积20已知数列an是公差为d的等差数列；（1）若a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，求d的值；（2）在（1）题条件下，若a1=3，设bn=an（）n，数列bn前n项和为Sn，求证：Sn21已知函数f（x）=x2+sinx，g（x）=lnx+x2（m+2）x（xR）（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与曲
7、线y=g（x）相切于点（2，g（2），求m的值；（2）若x1=a，x2=b是函数g（x）的两个极值点，且4求实数m的取值范围；求g（b）g（a）的最大值22已知二次函数f（x）=（a1）x2+（b4）x+1，其中a0，b0（1）当a=3，b=8时，求不等式f（x）0的解集；（2）若函数f（x）在区间，2上单调递减，求ab的最大值2015-2016学年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1设集合A=x|x3，B=y|y=2x，x0），则AB=（）A（0，1） B（0，3）
8、C（1，+） D（1，3）【考点】交集及其运算【分析】求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中y=2x，x0，得到y1，即B=（1，+），A=（，3），AB=（1，3），故选：D2已知“aR，则“a=2”是“复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则a2a2=0且a+10，解得a=2，当a=2时，
9、复数z=（a2a2）+（a+1）i=3i，（i为虚数单位）为纯虚数，成立，“a=2”是“复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的充要条件，故选：C3已知容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图分别如图所示，则标准差最大的是（）A B C D【考点】极差、方差与标准差【分析】由频率分布条形图，分析四个选项中的数据数据分布离散情况，得出对应方差与标准差的大小【解答】解：由所给的几个选项观察数据的波动情况，得到方差之间的大小关系，A的9个数据都是5，方差为0，B和C数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大，D数据主要分布在2和8处，距离平均数是最远的一组，所以
10、最后一个频率分布直方图对应数据的方差最大，标准差也最大故选：D4下列有关命题正确的是（）A若命题p：x0R，xx0+10，则p：xR，x2x+10B命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题C已知相关变量（x，y）满足线性回归方程=23x，若变量x增加一个单位，则y平均增加3个单位D已知随机变量XN（2，2），若P（Xa）=0.32，则P（X4a）=0.68【考点】命题的真假判断与应用【分析】A对存在命题的否定，把存在改为任意，再否定结论即可；B根据原命题与逆否命题为等价命题；C根据线性回归方程判断即可；D根据正态分布的概念可得【解答】解：A若命题p：x0R，xx0+10，则p应
11、为xR，x2x+10，故错误；B命题“若x=y，则cosx=cosy”该命题为真命题，故逆否命题也为真命题，故正确；C已知相关变量（x，y）满足线性回归方程=23x，若变量x增加一个单位，则y平均减少3个单位，故错误；D随机变量X服从正态分布N（2，2），=2，p（xa）=p（x4a）=0.32，故错误故选B5把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A B C D【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可【解答】解：取BD的中点E，连
12、结CE，AE，平面ABD平面CBD，CEAE，三角形直角CEA是三棱锥的侧视图，BD=，CE=AE=，CEA的面积S=，故选：B6某台小型晚会由6个不同的节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（）A194种 B193种 C192种 D191种【考点】计数原理的应用【分析】利用间接法，求出节目甲和节目乙排在一起的所有的排列，再排除甲乙丙或丙乙甲在一起的种数，问题得以解决【解答】解：节目甲和节目乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其它节目任意排有A22A55=240，节目甲和节目乙和节目丙捆绑在一起看做一个复合元素（排成甲乙
13、丙或丙乙甲的方式），再和其它节目任意排有A22A44=48，则节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案24048=192种，故选：C，7执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A10 B20 C100 D120【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，a=1，满足继续循环的条件，故S=1，i=2；第二次执行循环体后，a=3，满足继续循环的条件，故S=2，i=3；第三次执行循环体后，a=5，满足继续循环的条件，故
14、S=3，i=4；第四次执行循环体后，a=7，满足继续循环的条件，故S=4，i=5；第五次执行循环体后，a=9，满足继续循环的条件，故S=5，i=6；第六次执行循环体后，a=11，满足继续循环的条件，故S=6，i=7；第七次执行循环体后，a=13，满足继续循环的条件，故S=7，i=8；第八次执行循环体后，a=15，满足继续循环的条件，故S=8，i=9；第九次执行循环体后，a=17，满足继续循环的条件，故S=9，i=10；第十次执行循环体后，a=19，满足继续循环的条件，故S=10，i=11；第十一次执行循环体后，a=21，不满足继续循环的条件，故输出的S值为10，故选：A8已知sin2=，则co
15、s2（）的值是（）A B C D【考点】二倍角的余弦【分析】由条件利用二倍角的余弦公式求得cos2（）的值【解答】解：sin2=，则cos2（）=，故选：D9如图所示，直线xy+2=0与抛物线y=x2相交于A，D两点，分别过A，D作平行于y轴的直线交x轴于B，C两点，随机向梯形ABCD内投一点P，则点P落在抛物线弓形AOD内（图中阴影部分）的概率是（）A B C D【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用【分析】根据几何概型的概率公式结合积分的应用求出阴影部分的面积，进行求解即可【解答】解：由得x2x2=0得x=1，或x=2，即A（1，1），D（2，4），则梯形ABCD的面积S1=，则阴影部分
16、的面积S=（x+2x2）dx=（x3+x2+2x）|=，则随机向梯形ABCD内投一点P，则点P落在抛物线弓形AOD内（图中阴影部分）的概率P=，故选：C10已知二项式（3x）n（nN*）展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A B2 C D【考点】二项式定理的应用【分析】令x=1，可得a=2n，令x=1，可得b=4n，然后利用函数的单调性求得+的最小值【解答】解：解：令x=1，可得a=2n，令x=1，可得b=4n=（）n， =2n，+=（）n+2n+2=，故选：D11已知O是锐角ABC的外接圆圆心，A=60，+=m，则m的值为（）AB C1 D1【考点】
17、平面向量的基本定理及其意义【分析】作出图形，取AB中点D，并连接OD，从而有ODAB，而，可设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，然后在的两边同时乘以，进行数量积的运算便可得到，由正弦定理即可得到，从而解出，而cosB=cos（A+C），这样便可求出m=2sinA，从而便得出m的值【解答】解：如图，取AB中点D，则，ODAB；设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；由得，；两边同乘以得： =；即；由正弦定理，b=2rsinB，c=2rsinC，代入上式整理得：；=2sinA；又A=60；故选：A12定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数F（x
18、）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB2a1 C12aD2a1【考点】函数的零点【分析】函数F（x）=f（x）a（0a1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案【解答】解：当x0时，f（x）=；即x0，1）时，f（x）=（x+1）（1，0；x1，3时，f（x）=x21，1；x（3，+）时，f（x）=4x（，1）；画出x0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y
19、=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）a=0共有五个实根，最左边两根之和为6，最右边两根之和为6，x（1，0）时，x（0，1），f（x）=（x+1），又f（x）=f（x），f（x）=（x+1）=（1x）1=log2（1x），中间的一个根满足log2（1x）=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的和为12a故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知幂函数f（x）图象过点P（4，8），则f（16）=64【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数f（x）的解析式，根据图象过点（4，8），求出f（x）的解析式，从而求出f（16）的值【解答】解：设幂函数f（
20、x）=x，幂函数f（x）图象过点（4，8），4=8，解得=，f（x）=，f（16）=64故答案为：6414已知mR，向量=（m，1），=（12，4），=（2，4）且，则向量在向量方向上的投影为【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量共线的坐标表示，求得m=3，再由数量积公式求得向量a，c的数量积，及向量a的模，再由向量在向量方向上的投影为，代入数据即可得到【解答】解：由于向量=（m，1），=（12，4），且，则4m=12，解得，m=3则=（3，1），=324=10，则向量在向量方向上的投影为=故答案为：15已知实数x，y满足，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是【
21、考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，得到满足题意的a值，再由的几何意义求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+ay为，若a0，不满足题意；a0，要使目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则，a=1的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）连线的斜率，联立，解得A（4，2），的最大值为故答案为：16观察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19，根据以上规律，把m3（mN*且m2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为m2m+1【考点】归纳推理【分析】根据23=3+5，33=7+9+11，43
22、=13+15+17+19，可知从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2m+1【解答】解：根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2m+1，故答案为：m2m+1三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量=（2cosx，1），=（sinx，cos2x），设函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C
23、的对边分别是a，b，c，若（2ac）cosB=bcosC，求f（）的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示，由二倍角公式和辅助角公式，结合正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简可得cosB=，求得B=，A（0，），再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2k2x+2k+，kZ，可得kxk+，即有f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ；（2）（2ac）co
24、sB=bcosC，由正弦定理可得，（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，即为2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），即有2sinAcosB=sinA，可得cosB=（sinA0），由0B，可得B=，故A（0，），则f（）=2sin（A+），且A+（，），即有sin（A+）（，1，故f（）的取值范围是（1，218我市为了检测空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采用10分制，保留一位小数），现随机抽取20天的指数，绘制成如图所示的统计图（以整数部分为茎，小数部分为叶），设指数不低于8.5的视为当天空气质量为优良（1）求从这20天中随机抽取3天，至少
25、有2天空气质量为优良的概率；（2）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由茎叶图，利用对立事件的概率计算公式即可从这20天中随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（2）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出【解答】解：（1）记“至少有2天空气质量为优良的概率”为事件A，则所求事件概率为：P（A）=1=（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，XB（3，）P（X=0）
26、=（）3=，P（X=1）=C31（）2=，P（X=2）=C32（）2=，P（X=3）=（）3=，X的分布列为：X0123PE=0+1+2+3=19如图所示，在三棱锥PABC中，点P在平面ABC上的射影D与AC的中点重合，已知BC=2AC=8，AB=4（1）证明：平面PBC平面PAC；（2）若直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，求三棱锥PABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得ACBC，由PD平面ABC可得PDBC，故BC平面PAC，得出平面PBC平面PAC；（2）建立空间直角坐标系，设PD=h，则平面PBC的法向量与的夹角的正弦等
27、于，列方程解出棱锥的高PD【解答】（1）证明：点P在平面ABC上的射影D是AC的中点，PD平面ABC，BC平面ABC，PDBCBC=2AC=8，AB=4，AC2+BC2=AB2，ACBC又PD平面PAC，AC平面PAC，PDAC=D，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设PD=h，则=（2，0，h），=（0，8，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=2，得=（h，0，2）=（4，8，0），设AB与平面PBC所成的角为，则sin=，解得h=2三棱锥PABC的体积V=20已知数列an是公差为d的等差数列；（1）若a1
28、+1，a3+3，a5+5构成等比数列，求d的值；（2）在（1）题条件下，若a1=3，设bn=an（）n，数列bn前n项和为Sn，求证：Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，可得=（a1+1）（a5+5），即=（a1+1）（a1+4d+5），解得d（2）an=3（n1）=4n，bn=an（）n=（4n），利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出Sn再利用数列的单调性即可得出【解答】（1）解：a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，=（a1+1）（a5+5），=（a1+1）（a1+4d+5），化为（d+1）2=0，解得d=1（
29、2）证明：an=3（n1）=4n，bn=an（）n=（4n），Sn=+2+，=+2+（5n）+（4n），=（4n）=（4n）=1+（n2），Sn=2+（n2）Sn+1Sn=，当1n3时，数列Sn是单调递增数列，当n4时，数列Sn是单调递减数列即S1S2S3=S4S5S6，又=S1S2=2，且n3，Sn2Sn的最小值为；当n=3或4时，Sn的最大值为故：Sn21已知函数f（x）=x2+sinx，g（x）=lnx+x2（m+2）x（xR）（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与曲线y=g（x）相切于点（2，g（2），求m的值；（2）若x1=a，x2=b是函数g（x）的两个极值点，且4求
30、实数m的取值范围；求g（b）g（a）的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），g（2），得到关于m的方程组，无解，从而判断m不存在；（2）求出（m+2）2=（a+b）2=+2，令t=，则t4，+），令（t）=t+2，通过求导判断（x）的范围，从而求出m的范围即可；求出g（b）g（a）的表达式，通过换元以及函数的单调性问题，求出其范围即可【解答】解：（1）f（x）=2x+cosx，g（x）=+x（m+2），f（1）=2，g（2）=m，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是：y（1+）=2（x1），即y=2x+
31、1；曲线y=g（x）在点（2，g（2）处的切线方程是：y（ln22m2）=（m）x2，即y=（m）x+ln23，由题意得：，故切线不可能重合，故m的值不存在；（2）函数g（x）的定义域是（0，+），g（x）=，a，b是方程x2（m+2）x+1=0的两个不相等的正根，且4，（m+2）2=（a+b）2=+2，令t=，则t4，+），（m+2）2=t+2，又（t）=t+2在4，+）递增，（t）（4）=，（m+2）2，m的范围是，+）；g（b）g（a）=ln+（b2a2）（m+2）（ba）=ln（b2a2）=ln（）=lnt（t），令h（t）=lnt（t），t4，+），h（t）=0，h（t）h（4）=l
32、n4，g（b）g（a）的最大值是ln422已知二次函数f（x）=（a1）x2+（b4）x+1，其中a0，b0（1）当a=3，b=8时，求不等式f（x）0的解集；（2）若函数f（x）在区间，2上单调递减，求ab的最大值【考点】函数单调性的判断与证明；二次函数的性质【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解得即可；（2）需要分类讨论，根据二次函数的性质和基本不等式即可求出ab的最大值【解答】解：（1）当a=3，b=8时，f（x）=x2+4x+1，f（x）0，x2+4x+10，解得2x2+，不等式f（x）0的解集为（2，2+），（2）f（x）的对称轴为x=，函数f（x）在区间，2上单调递减，当a1时，抛物线的开口向上，由2，得2a+b6，2ab9，ab，当且仅当，即a=，b=3时等号成立，当a1时，抛物线的开口向上，由，得a+2b9，a2b，ab，当且仅当a=，b=时等号成立，a=1，故应舍去，由得ab的最大值为2016年7月6日
