1、6余弦函数的图像与性质学习目标1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)知识点1余弦函数的图像余弦函数ycos x(xR)的图像叫余弦曲线根据诱导公式sincos x，xR.只需把正弦函数ysin x，xR的图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数图像(如图)要画出ycos x，x0,2的图像，可以通过描出(0,1)，(，1)，(2，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数ycos x，x0,2的图像【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数ycos x的图像可以向左、向右无限
2、伸展()(2)ycos x 的图像与ysin x的形状完全一样，只是位置不同()(3)ycos x的图像与x轴有无数个交点()(4)ycos x的图像关于y轴对称()知识点2余弦函数的性质函数ycos x定义域R值域1,1奇偶性偶函数周期性2为最小正周期单调性当x2k，2k(kZ)时，递增；当x2k，2k(kZ)时，递减最大值与最小值当x2k(kZ)时，最大值为1；当x2k(kZ)时，最小值为1【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)ycos x的最小正周期为2.()(2)函数ycos x在区间0，上是增函数()(3)函数ysin(x)的图像关于x0对称()(4)函数ysin(x)是奇
3、函数()题型一余弦函数的图像及应用【例1】画出ycos x(xR)的简图，并根据图像写出：(1)y时x的集合；(2)y时x的集合解用“五点法”作出ycos x的简图 (1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于，点，在，区间内，y时，x的集合为.当xR时，若y，则x的集合为.(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，kZ，kZ点和，kZ，kZ点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当y时x的集合为：或.规律方法“五点法”画函数图像的三个步骤【训练1】(1)函数ycos 2x，x0,2的简图是()解析由2x0，2可得五点，描图知，
4、A为x0，上的简图；D为x0,2上的简图答案D(2)作出函数y1cos x在2，2上的图像解列表：x02ycos x10101y1cos x11作出y1cos x在x0,2上的图像由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像从而得出y1cos x在x2，2上的图像题型二余弦函数的性质【例2】已知f(x)2cos x.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最小正周期解(1)f(x)2cos x的定义域为R且f(x)f(x)，函数f(x)2cos x为偶函数(2)ycos x在2k，2k(kZ)上是增加的，在2k，2k(kZ)上是减少的，y2cos x的单调递增区间为2k，2k
5、(kZ)，单调递减区间为2 k，2 k( kZ)(3)由cos x的周期性知y2cos x的最小正周期为2.规律方法对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致【训练2】(1)求函数y1cos x的单调区间；(2)比较cos与cos的大小解(1)0，y1cos x的单调性与ycos x的单调性相反ycos x的单调增区间是2k，2k(kZ)，减区间是2k，2k(kZ)y1cos x的单调减区间是2k，2k(kZ)，增区间是2k，2k(kZ)(2)coscoscos.coscos.又0，且函数ycos x在0，上是减少
6、的，coscos，即coscos.【例3】函数ycos2xcos x的值域为_解析y2.因为1cos x1，所以当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.所以函数ycos2xcos x的值域是.答案【迁移1】求本例中x时函数的值域解y2，因为x，所以cos x1.所以当cos x时ymax，cos x1时ymin0，原函数的值域为0，【迁移2】求本例中x时函数的值域解由x，所以0cos x1，此时函数ycos2xcos x的值域也为.【迁移3】若将本例改为已知函数yabcos x的值域为，求ab的值解函数yabcos x的最大值是，最小值是.当b0时，由题意得：ab.当b0时，由
7、题意得：ab.综上所述，ab.规律方法与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法(1)利用sin x，cos x的有界性(2)利用sin x，cos x的单调性(3)化为sin xf(x)或cos xf(x)，利用|f(y)|1来确定(4)通过换元转化为二次函数.课堂达标1下列函数中，不是周期函数的是()Ay|cos x|Bycos|x|Cy|sin x|Dysin|x|解析画出ysin|x|的图像(图略)，易知D选项不是周期函数答案D2设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析sinsincos 2x，
8、f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数答案B3函数ycos x，x0,2的图像和直线y1围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是_解析如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影部分，此时所围面积可变成一个矩形答案24使cos x有意义的实数m的取值范围是_解析11；即1；|1m|1m|且m1，得m0.答案m|m05(1)已知函数ylg(2cos x1)，求它的定义域和值域；(2)求函数y23的值域解(1)2cos x10，即cos x.定义域为.令ylg t，t2cos x1，则0t3.ylg 3，即值域为(，lg 3(2)设tcos
9、 x，则1t1.原函数可转化为：y23.当t时，ymin3；当t1时，ymax.值域为.课堂小结1比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断2求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin xf(y)，再由|sin x|1，构建关于y的不等式|f(y)|1，从而求得y的取值范围.基础过关1函数ycos x|cos x|，x0,2的大致图像为()解析由题意得y显然只有
10、D合适答案D2若f(x)cos x在b，a上是增函数，则f(x)在a，b上是()A奇函数B偶函数C减函数D增函数解析因为ycos x为偶函数并且在b，a上是增函数，所以ycos x在a，b上递减，故选C.答案C3函数ycos，x的值域是()A. B.C. D.解析0x，x.cos coscos ，y.故选B.答案B4函数y3cos x1的单调递减区间是_解析函数ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)函数y3cos x1的单调递减区间是2k，2k(kZ)答案2k，2k(kZ)5比较大小：cos_cos.解析coscoscos，coscoscos，而0，coscos，即coscos.答案6
11、比较下列各组数的大小(1)sin 46与cos 221；(2)cos与cos.解(1)sin 46cos 44cos 136，cos 221cos 41cos 139.1801391360，cos 139cos 221.(2)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上递减，coscos，即coscos.7求函数y的值域解y1.1cos x1，12cos x3，1，4，13，即y3.函数y的值域为.能力提升8下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()AysinBycosCysinDycos解析因为函数周期为，所以排除C、D.又因为ycossin 2x在上为增函
12、数，故B不符合故选A.答案A9下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11解析sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80.由正弦函数的单调性得sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.答案C10函数ylg(sin x) 的定义域为_解析要使函数有意义必须有即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.答案11函数ycos2x3cos x2的最小值为_解析y2，当cos x1时，y最小值为0.答案012已知函数ycos x|cos x|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出这个函数的单调增区间解(1)ycos x|cos x|函数图像如图所示(2)由图像知函数的周期是2.(3)由图像知函数的单调增区间为(kZ)13(选做题)求函数f(x)cos2xcos x的最大值解f(x)cos2xcos x，令cos xt且t0，1，则yt2t1，则当t时，f(x)取最大值1.