1、第3讲圆的方程一、知识梳理1圆的方程标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)半径为r一般方程x2y2DxEyF0条件：D2E24F0圆心：半径：r2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.常用结论1以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2二元二次方程表示圆的条件对于方程x2y2DxEyF0表示圆
2、时易忽视D2E24F0这一条件二、习题改编1(必修2P123练习T2改编)圆x2y22x4y60的圆心坐标 ，半径 答案：(1，2)2(必修2P120练习T1(2)改编)若圆的圆心为(8，3)，且经过点(5，0)，则圆的标准方程为 答案：(x8)2(y3)2183(必修2P124A组T2(2)改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 答案：x2y22x0一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程Ax2BxyCy2D
3、xEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)忽视方程表示圆的条件D2E24F0；(2)错用点与圆的位置关系判定1方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1Bm1Cm1解析：选B.由(4m)2445m0，得m1.2点(1，1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是 解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.答案：2与圆有关的轨迹问题(师生共研) 已知A(2，0)为圆x2y24上一定点，B(1，1)为圆
4、内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程【解】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，
5、B(3，0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是
6、线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)基础题组练1已知圆C的圆心为(2，1)，半径长是方程(x1)(x4)0的解，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y2)24 B(x2)2(y1)24C(x2)2(y1)216 D(x2)2(y1)216解析：选C.根据圆C的半径长是方程(x1)(x4)0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x2)2(y1)216.2(2020河北九校第二次联考)圆C
7、的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y24x0 Dx2y22x30解析：选C.由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，故选C.3方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆4(2020湖南长沙模拟)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2 C1 D22解析：选A.将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1，1)，半径为
8、1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11，选A.5点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：选A.设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.6已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 解析：已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时
9、，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆答案：(2，4)57过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程为 解析：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为圆心在直线y0上，所以b0，所以圆的方程为(xa)2y2r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x1)2y220.答案：(x1)2y2208若圆C与圆x2y22x0关于直线xy10对称，则圆C的方程是 解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(1，0)，由点A，C关于xy10对称得解得又因为圆的半径是1，所以圆
10、C的方程是(x1)2(y2)21，即x2y22x4y40.答案：x2y22x4y409求适合下列条件的圆的方程(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(9，2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.所以圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所以所求圆的方程为x
11、2y22x4y950.10已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.综合题组练1(应用型)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，
12、则圆C的方程为 解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆因为OPQ为直角三角形，所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案：(x2)2(y1)252已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是 解析：因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)连接AC交圆C于Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ
13、|AQ|AC|r2.答案：23(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)
14、，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.4已知圆C的方程为x2(y4)21，直线l的方程为2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|2，设P(a，2a)，则2，解得a2或a，所以点P的坐标为(2，4)或.(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(xb)(y4)(y2b)0，整理得x2y2bx4y2by8b0，即(x2y24y)b(x2y8)0.由解得或所以该圆必经过定点(0，4)和.