1、第2讲古典概型一、知识梳理1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)特点试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性；每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性(2)概率公式P(A).二、习题改编1(必修3P125例1改编)从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有 个基本事件答案：62(必修3P145A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为 解析：设3个红色球为A1，A2，A3，2个黄色球为B1，B2，从5个球中，
2、随机取出2个球的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6种，所以所求概率为.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件()(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同()(4)“从长为1的线段
3、AB上任取一点C，求满足AC的概率是多少”是古典概型()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)列举基本事件不准确导致基本事件的个数错误；(2)对事件A的限制条件理解不正确致误1从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5 C0.4 D0.3解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件
4、A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)0.3.故选D.2从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是 解析：总的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个，所以所求概率P.答案：简单的古典概型(师生共研) (2019高考天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣
5、除某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访 员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率【解】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层抽样
6、的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种由表格知，符合题意的所有可能结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共11种所以，事件M发生的概率P(M).(1)古典概型中基本事件的探求方法(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤1(2020南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行312模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，
7、政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A. B. C. D解析：选B.记地理、化学、生物分别为D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9种，小明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3种情况，所以他们选课相同的概率为，故选B.2(2019高考全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B. C. D解析：选D.将两位男同
8、学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P，故选D.3(2020重庆市学业质
9、量调研)2018年8月在重庆成功举办了首届“智博会”某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108 ，72，72，现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人到智博会参观(1)求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数；(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报，求这2人来自不同部门的概率解：(1)抽取比例为7：(108 72 72) 136.所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人，2人，2人(2)7人分别记为A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2，从中随机抽取2人的所有可能情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2A3，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2
10、，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共21种其中，2人来自不同部门的可能情况有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共16种故所求事件的概率为. 古典概型中的交汇问题(多维探究)角度一古典概型与平面向量的交汇 从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合1，3，5中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(1，1)垂直的概率为()A. B. C. D【解析】由题意可知m(a，b)有：(2，1)，(2，
11、3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况因为mn，即mn0，所以a1b(1)0，即ab，满足条件的有(3，3)，(5，5)共2种，故所求的概率为.【答案】A角度二古典概型与函数(方程)的交汇 (2020益阳、湘潭调研试卷)已知a2，0，1，2，3，b3，5，则函数f(x)(a22)exb为减函数的概率是()A. B. C. D【解析】函数f(x)(a22)exb为减函数，则a220，又a2，0，1，2，3，故只有a0，a1满足题意，又b3，5，所以函数f(x)(a22)exb为减函数的概率是.故选
12、C.【答案】C角度三古典概型与解析几何的交汇 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m，第二次向上的点数记为n，曲线C：1.则曲线C的焦点在x轴上且离心率e的概率等于()A. B. C. D【解析】因为离心率e，所以 ，解得.由列举法得，当m6时，n5，4，3；当m5时，n4，3；当m4时，n3，2；当m3时，n2；当m2时，n1，共9种情况，故其概率为.故选D.【答案】D解决古典概型中交汇问题的方法解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算1(2020武汉市部分学校调研)将一枚
13、质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2bx10有实数解的概率是()A. B. C. D解析：选C.投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为所以a和b的组合有36种，若方程ax2bx10有实数解，则b24a0，所以b24a.当b1时，没有a符合条件；当b2时，a可取1；当b3时，a可取1，2；当b4时，a可取1，2，3，4；当b5时，a可取1，2，3，4，5，6；当b6时，a可取1，2，3，4，5，6.满足条件的组合有19种，则方程ax2bx10有实数解的概率为P，故选C.2设a2，4，b1，3，函数f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在区间(，1上是减函数的概率；(
14、2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率解：(1)由题意1，即ba.而(a，b)共有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，4种，满足ba的有3种，故概率为.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种情况，从中随机抽取两个，有6种抽法因为函数f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)ab，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.核心素养系列20数学建模求古典概型的概率 (2018高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某
15、敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率【解】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人(2)从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D
16、，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共21种由，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共5种所以，事件M发生的概率P(M).本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力培养学生的数学建模能力(2020成都市第一次诊断性检测)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水
17、量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：日用水量(单位：吨)70，80)80，90)90，100频数36m频率n0.5p(1)求m、n、p的值；(2)已知样本中日用水量在80，90)内的这6个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率解：(1)因为36m12，所以m3，所以n，p.所以m3，np.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有83，85，83，86，83，87，83，88，83，89，85，86，85，87，85，88，85，89，86，87，86，88，
18、86，89，87，88，87，89，88，89，共15种其中2个数据都小于或等于86的情况有83，85，83，86，85，86，共3种故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P1.基础题组练1(2019高考全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，
19、b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为，选B.2(2020济南市模拟考试)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为()A. B. C. D.解析：选B.从四人中随机选两人的所有情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李
20、)，(小张、小刘)，(小张、小李)，(小刘、小李)，共6种，其中小王被选中的情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，共3种，故小王被选中的概率P，故选B.3在集合A2，3中随机取一个元素m，在集合B1，2，3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为()A. B. C. D.解析：选B.点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2y29的内部，所求概率为.4(2020唐山市摸底考试)在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两顶点间距离大于1的概
21、率为()A. B. C. D.解析：选C.如图，正五边形ABCDE的边长为1，任取两个顶点，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.共10种可能，其中两顶点间距离为1的情况有AB，BC，CD，DE，EA，余下的情况两顶点间距离均大于1，各有5种可能，所以任取两顶点，两顶点间距离大于1的概率P，故选C.5(2019高考江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 解析：记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B
22、，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为.答案：6设a1，2，3，b，则函数ylog是减函数的概率为 解析：因为f(x)在区间(0，)上是减函数，又函数ylog是减函数，所以1，因为a1，2，3，b，则，2，3，4，6，共8个值，其中满足1的有，2，3，4，6，共5个值，所以函数ylog是减函数的概率为.答案：7(2020长春市质量检测(一)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出36节
23、云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计如下：点击量0，1 000(1 000，3 000(3 000，)节数61812(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间0，1 000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率解：(1)根据分层抽样，从36节云课中选出6节课，其中点击量超过3 00
24、0的节数为122.(2)在(1)中选出的6节课中，点击量在区间0，1 000内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000内的有3节，设点击量在区间0，1 000内的1节课为A1，点击量在区间(1 000，3 000内的3节课分别为B1，B2，B3，点击量超过3 000的2节课分别为C1，C2.从中选出2节课的方式有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率P.8
25、在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)
26、，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个故所求概率P(A).(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个则P(B)，所以P(C)1P(B).
27、因为P(B)P(C)，所以这样规定不公平综合题组练1一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当yx ，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合1，2，3，4)中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A. B. C. D解析：选B.从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143
28、，231，241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为，故选B.2(2020湖南省湘东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形A1A2A3，A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1i，j10，且iN，jN)，点P满足20，则点P落在第二象限的概率是()A. B. C. D解析：选B.在正十边形，A1，A2，A3，A10的十个顶点中任取两个，不同的取法有45(种)，满足20，且点P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9
29、，A10)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为，故选B.3(2020昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.(1)若引种树苗A，B，C各10棵估计自然成活的总棵数；利用中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率(2)该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，若每棵树苗最终成活后可获利
30、300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)依题意，100.8100.9100.926，所以自然成活的总棵数约为26.没有自然成活的树苗共4棵，其中2棵A种树苗，1棵B种树苗，1棵C种树苗，分别设为a1，a2，b，c，从中随机抽取2棵，可能的情况有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是树苗A的概率为.(2)设该农户引种B种树苗n棵，最终成活的棵数为0.9n(10.9)n0.80.96n，未能成活的棵数为n0.96n0.04n，由题意知0.96n3000.04n50200 000，
31、则n699.所以该农户至少引种700棵B种树苗，可获利不低于20万元4(2020安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，
32、9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1i8，iN)，设样本平均数为，求|xi|0.5的概率解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n2 000，则z2 000(100300)(150450)600 400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，得a2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1 ，B2)，(B1，B3)，(B2 ，B3)，共10个，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个故P(E)，即所求的概率为.(3)样本平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1i8，iN)，|xi|0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个所以P(D)，即所求的概率为.