1、专题一函数与导数函数与导数的综合问题一般是压轴题，两问，第一问考查求曲线的切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数等，属于基础问题.第二问利用导数证明不等式，不等式恒成立求参数的取值范围，求函数的零点等问题，考查函数的思想，转化的思想及分类讨论的思想.第1课时题型一函数中的数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.它是数学的规律性与灵活性的有机结合.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数
2、”.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x)k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围.x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)(2)由(1)，可得 f(x)x24(x2)(x2).令 f(x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：图 1-1方程 f(x)k 的解的个数即为函数 yk 与 yf(x)图象的交点个数，【规律方法】可以继续探讨：(1)求函数 yf(x)的单调区间；(2)若函数 yf(x)的图象与直线 y1 恰有两个交点，求 a的取值范围.【互动探究】x(，2a)2a(2a，0)0(0，a)a(a，)f(x)000f(x)
3、极小值极大值极小值解：(1)f(x)x3ax22a2xx(x2a)(xa).令 f(x)0，得 x12a，x20，x3a.当 a0 时，列表如下：f(x)的单调递增区间为(2a，0)和(a，)，f(x)的单调递减区间为(，2a)和(0，a).要使 f(x)的图象与直线 y1 恰有两个交点，(1)(2)图 D18【规律方法】(1)继续探讨：函数 yf(x)的图象与直线 y1恰有三个交点，则 a 的取值范围为 a 1 如图 1-2(1)或 a(1)(2)(3)图 1-2(2)请结合例 1 一起学习，例 1 中函数图象确定，直线 yk在动(变化)；而本题中直线 y1 确定，函数图象在动(变化)，数形
4、结合中蕴含运动变化的思想.题型二函数中的分类讨论思想当 a1 时，f(x)0 恒成立，f(x)单调递增，又f(1)0，函数 f(x)在区间1，e上有唯一的零点，符合题意；当 ae2 时，f(x)0 恒成立，f(x)单调递减，又f(1)0，函数 f(x)在区间1，e上有唯一的零点，符合题意；当 a11 时，即 a0 时，g(x)在1，e上单调递增，所以 g(x)的最小值为 g(1)，由 g(1)11a0 可得 a2；当 1a1e 时，即 0ae1 时，【互动探究】2.(2019 年全国)已知函数 f(x)2x3ax22.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 0a3 时，记 f(x)在区间0，1的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm 的取值范围.当 a0 时，f(x)在区间(，)上单调递增；而 f(0)2，f(1)2a2f(0)，所以 f(x)在区间0，1上最大值为 f(1).
