1、点和圆的位置关系 知识点一点和圆的位置关系 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在 的外部.点在圆上 点在圆周上 =点在 的圆周上.点在圆内 点在圆的内部 r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d 2，点在圆外.故选 A.典例 3（2019雨花台区期末）已知点 A 在半径为 r 的O 内，点 A 与点 O 的距离为 6，则 r 的取值范围是（）Ar 6 Br 6 Cr 6 Dr 6【答案】B【详解】点在半径为的 内，小于，而=6，6.故选：.【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该
2、点与圆的位置关系.知识点二三点定圆的方法 1）经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个 2）经过两点、的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点、的圆，这样的圆也有无数个 3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点、共线时，过三点的圆不存在；情况二：若、三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个 三点定圆的画法：1）连接线段 AB,BC。2）分别作线段 AB,BC 的垂直平分线。两条垂直平分线交点为 O，此时 OA=OB=OC,于是点 O 为圆心，以 OA 为半径，便可作出经过 A、
3、B、C 的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 典例 1（2017天桥区期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A第块 B第块 C第块 D第块【答案】B【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第块，故选 B.【名师点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.典例 2（2019慈溪市期末）数学课上，老师让学生尺规作图画 RtABC，使其斜边 AB=c，一条直角边 BC=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB 是直
4、角的依据是（）A.勾股定理 B.直径所对的圆周角是直角 C.勾股定理的逆定理 D.90的圆周角所对的弦是直径【答案】B【解析】由作图痕迹可以看出 O 为 AB 的中点，以 O 为圆心，AB 为直径作圆，然后以 B 为圆心 BC=a 为半径花弧与圆 O 交于一点 C，故ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断ACB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角 故选：B【考点】作图复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理 知识点三三角形的外接圆 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 2）三角形外
5、心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）外接圆圆心和三角形位置关系：1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图 1）；2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图 2）；3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图 3）.典例 1（2018滨河新区期末）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（）A12 B32 C33 D36 【答案】C【详解】如图所示，连接 OB，OC，过 O 作
6、ODBC；BC=1,BD=12,ABC 是正三角形，BOC=3603=120，OB=OC，BOD=1202=60，OBD=30，OB=30=1232=33 故选 C【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形 典例 2 有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】B【解析】解答：解：经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；当三点共线的时候，不能作圆，故错误；图3图2图1OCBAOCBAOCBA三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交
7、点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确 故选 B 典例 3（2019重庆市期中）如图，O 是ABC 的外心，则1+2+3=()A.60 B.75 C.90 D.105【答案】C【详解】如图，=，3=4，同理，1=5，2=6，3+4+1+5+2+6=180，1+2+3=90，故选 C【名师点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键 知识点四反证法 反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理
8、或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。典例 1（2018古田县期中）已知：在 中，求证：.若用反证法来证明这个结论，可以假设()A=B=C=D=【答案】C【详解】已知：在 中，求证：.若用反证法来证明这个结论，可以假设=,由“等角对等边”可得 AB=AC,这与已知矛盾，所以 .故选：C【名师点睛】本题考核知识点：反证法.解题关键点：理解反证法的一般步骤.典例 2（2019乳山市期末）用反证法证明“a b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）A.a b B.a b C.a b D.a=b【答案】C【详解】解：根据题意，判定与a b相矛盾的判断是a b，故答案为 C.【名
9、师点睛】此题主要考查对反证法的概念的理解，熟练掌握内涵，即可解题.巩固训练 一、单选题（共 10 小题）1（2019临清市期末）O 的半径为 5cm，A 是线段 OP 的中点，当 OP=7cm 时，点 A 与O 的位置关系是（）A点 A 在O 内 B点 A 在O 上 C点 A 在O 外 D不能确定【答案】A【详解】OP=7cm，A 是线段 OP 的中点，OA=3.5cm，小于圆的半径 5cm，点 A 在圆内 故选 A【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据 OP 的长和点 A 是 OP 的中点，得到 OA=3.5cm，小于圆的半径相等，可以确定点 A 的位置 2（2019合肥市期中）如图
10、，王大伯家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长为（）A5m B4m C3m D2m【答案】B【详解】解：连接 OA，交半圆 O 于 E 点，在 RtOAB 中，OB=6，AB=8，所以 OA=2+2=10；又 OE=OB=6，所以 AE=OA-OE=4 因此选用的绳子应该不大于 4m，故选：B【名师点睛】本题考查勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点熟练运用勾股定理 3（2018海口市期末）设 P 为O 外一点，若点 P 到O 的最短距离为 3，最长距离为 7，则O 的
11、半径为（）A3 B2 C4 或 10 D2 或 5【答案】B【详解】解：P 为O 外一点，若点 P 到O 的最短距离为 3，最长距离为 7，O 的直径为：7-3=4，O 的半径为 2，故选：B【名师点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 4（2019重庆市期中）已知 的直径为 10，点 A 在圆内，若 OA 的长为 a，则 a 应满足()A0 5 B 5 C0 10 D 10【答案】A【详解】的直径为 10，的半径长为 5，点 A 在圆内，的长 a 的取值范围为：0 5，故选 A【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的
12、关键 5（2019连云港市期末）如图，在矩形中，=4，=3，若以为圆心，4 为半径作.下列四个点中，在外的是()A点 B点 C点 D点【答案】C【详解】解：如下图,连接 AC,圆 A 的半径是 4,AB=4,AD=3,由勾股定理可知对角线 AC=5,D 在圆 A 内,B 在圆上,C 在圆外,故选 C.【名师点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出 AC 的长是解题关键.6（2018降化县期末）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A.（0，0）B.（2，1）C.（2，1）D.（0，1）【答案】
13、C【解析】如图：分别作 AC 与 AB 的垂直平分线，相交于点 O，则点 O 即是该圆弧所在圆的圆心 点 A 的坐标为（3，2），点 O 的坐标为（2，1）故选 C 7（2019湖州市期中）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙 3 位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的()A三条高的交点 B重心 C内心 D外心【答案】D【详解】要使游
14、戏公平，那么凳子应该到三角形三个顶点的距离相等，所以凳子应该放在图中三角形的外心.故选 D【名师点睛】本题考查了三角形外心的意义，三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.8（2018福州市期中）RtABC 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆半径为（）A5 B2.5 C8 D10【答案】B【详解】C90，AC3cm，BC4cm，AB=2+2=5 cm ABC 是直角三角形，ABC 的斜边为它的外接圆的直径，它的外接圆的半径为 2.5 cm 故选 B【名师点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆
15、心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键 9（2018福州市期末）若正方形的边长为 a，其内切圆的半径为 r，外接圆的半径为 R，则 rRa（）A1:1:2 B1:2:2 C1:2:1 D2:2:4【答案】B【详解】作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形 在中心的直角三角形的角为360 4 2=45，内切圆的半径为2，外接圆的半径为22a，：=1：2：2 故选 B【名师点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来 10（2018眉山市期中）如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A直角三角形 B
16、锐角三角形 C钝角三角形 D不能确定【答案】C【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，如果在外部，则这个三角形是钝角三角形 故选 C.【名师点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解 二、填空题（共 5 小题）11（2018路北区期末）已知平面上点 P 到圆周上的点的最长距离为 8，最短距离为 4，则此圆的半径为_【答案】2 或 6【详解】当点在圆外时，圆外一点和圆周的最短距离为 4，最长距离为 8，圆的直径为 844，该圆的半径是 2；当点在圆内时，点到圆周的最短距离为
17、4，最长距离为 8，圆的直径8+412，圆的半径为 6，故答案为 2 或 6【名师点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键 12（2019惠山区期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶点 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是_ 【答案】3 3，三个顶点 A、B、C 中至少有一个点在圆外，点 B 与点 D 的距离最远，点 B 应该在圆外，所以 r5，所以 r 的取值范围是3 5.13（2019台东市期中）若圆 O 的半径是 5，圆心的坐标是（0，0）
18、，点 P 的坐标是（4，3），则点 P 与O 的位置关系是 _【答案】点 P 在圆上【详解】点 P 的坐标是（-4，3），OP=32+42=5，OP 等于圆 O 的半径，点 P 在圆 O 上 故答案为点 P 在圆 O 上【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系 14（2018路北区期末）如图，是的外接圆，=45，4BC，则 的直径为_ 【答案】4 2 【解析】如图，连接 OB，OC A=45，BOC=90，BOC 是等腰直角三角形 又BC=4，BO=CO=BCcos45=22，O 的直径为
19、42 故答案为：42 15（2018阳谷县期末）如图，在ABC 中，A=60，O 为ABC 的外接圆如果 BC=23，那么O的半径为_ 【答案】2【详解】解：连接 OC、OB，作 ODBC，A=60，BOC=120，DOC=60，ODC=90，OC=32 3322，故答案为：2【名师点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出BOC=120 三、解答题（共 3 小题）16（2018路北区期末）如图，A，P，B，C 是半径为 8 的O 上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC 是等边三角形；（2）求圆心 O 到 BC 的距离 OD【答案】（1）证明见解析
20、（2）4【解析】解：（1）证明：APC 和ABC 是同弧所对的圆周角，APC=ABC。又在ABC 中，BAC=APC=60，ABC=60。ACB=180BACABC=1806060=60。ABC 是等边三角形。（2）连接 OB，ABC 为等边三角形，O 为其外接圆，O 为ABC 的外心。BO 平分ABC。OBD=30.OD=812=4。（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知BAC=APC=60可得ABC 的每一个内角都等于 600，从而得证。（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含 30 度角直角三角形 OBD，从而根据 30 度角所对边是斜边一半的性质，得 OD=812=4 17（201
21、8惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）（1）在图中画出经过 A、B、C 三点的圆弧所在圆的圆心 M 的位置；（2）点 M 的坐标为 ；（3）判断点 D（5，2）与M 的位置关系 【答案】（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点 D 在M 内；【解析】解：（1）如图 1，点 M 就是要找的圆心；（2）圆心 M 的坐标为（2，0）故答案为：（2，0）；（3）圆的半径 AM=22+42=25 线段 MD=(5 2)2+22=1325，所以点 D 在M 内 名师点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心 M 的坐标是解题的关键 18（2019陕西中考真题）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高。请用尺规作图法，求作ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）【答案】如图所示见解析.【详解】如图所示，O 即为ABC 的外接圆.【名师点睛】本题考查了尺规作图三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键.