1、2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养2通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于
2、|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a3 B2k3Ck2 D0k0，所以解得k24与双曲线1具有相同焦点的双曲线方程是_(只写出一个即可)1与1具有相同焦点的双曲线方程为1(8k10)双曲线的定义及应用【例1】已知F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若点P是双曲线上的一点，且F1PF260，求F1PF2的面积思路探究：(1)直接利用定义求解(2)在F1PF2中利用余弦定理求|PF1|P
3、F2|解(1)设|MF1|16，根据双曲线的定义知|MF2|16|6，即|MF2|166解得|MF2|10或|MF2|22(2)由1，得a3，b4，c5由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|64，S|PF1|PF2|sin F1PF26416PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式S|PF1|PF2
4、|sinF1PF2求得面积.(2)利用公式S|F1F2|yP|求得面积.1(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A|PF1|PF2|3B|PF1|PF2|4C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24A|F1F2|4，根据双曲线的定义知选A(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_9由双曲线的方程可知a2，设右焦点为F1，则F1(4,0)|PF|PF1|2a4，即|PF|PF1|4，所以|PF|PA|PF1|PA|4|AF1|4，当且仅当A，P，F1三点共线
5、时取等号，此时|AF1|5，所以|PF|PA|AF1|49，即|PF|PA|的最小值为9求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a4，经过点A；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上思路探究：(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c216420，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把点A的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29故所求双曲线
6、的标准方程为1(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b220双曲线经过点(3，2)，1由得a212，b28，双曲线的标准方程为1法二：设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为11求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB
7、0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程，得1又a2b29，解得a25，b24，所以双曲线的标准方程为1与双曲线有关的轨迹问题探究问题1到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示一支2求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系【例3】如图所示，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程思路探究：解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0
8、)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26即所求轨迹方程为1(x)求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程.(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.3如图所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F
9、1(5,0)，半径r11圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2动圆圆心M的轨迹方程为11双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a|F1F2|时表示两条射线2在双曲线的标准方程中，ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b23用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1已知双曲线的一个焦点F1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为 ()A1B1C1 D1B由已知得，c5，a4，所以b3所以双曲线的标准方程为12若kR，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A3k2 Bk3Ck2 Dk2A由题意可知解得3k0，b0)，所以解得所以所求的双曲线的标准方程为1
