1、章末测试卷(三)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：(2i)244ii234i，在复平面内对应的点为(3，4)，位于第四象限答案：D2已知a，bC，下列命题正确的是()A3i5i Ba0|a|0C若|a|b|，则ab Da20解析：A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，bR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|，但ii或i；D选项中，当aR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i
2、210.故选B.答案：B3.的虚部为()Ai Bi C. D解析：1i，故其虚部为.答案：C4已知集合M1,2，zi(i为虚数单位)，N3,4，MN4，则复数z()A2i B2i C4i D4i解析：由MN4，知4M，故zi4，故z4i.答案：C5.()A B C.i Di解析：因为(1i)22i，所以.答案：A6a为正实数，i为虚数单位，2，则a()A2 B C. D1解析：1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.答案：B7已知复数z134i，z2ti，且z1是实数，则实数t等于()A. B C D解析：z1(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因为z1是实数，所以4t
3、30，所以t.故选A.答案：A8在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A2i B2i C12i D12i解析：由题意知，A点坐标为(1，2)，B点坐标为(2，1)，故对应的复数为2i.故选A.答案：A9已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“a1”是“点M在第四象限”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：z(a2i)(1i)(a2)(a2)i，所以点M在第四象限的充要条件是即2a2，所以“a1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件故选A.答案：A10定
4、义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A3i B13i C3i D13i解析：zizz(1i)42i，所以z3i.故选A.答案：A11已知复数z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是()A. B C. D.解析：因为|(x2)yi|，所以(x2)2y23，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，如图，令k，kxy0，则，得k.由平面几何知识得.所以最大值为，故选D.答案：D12在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a
5、2b2i，(a1，b1，a2，b2R，i为虚数单位)，“z1z2”当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”给出下面命题：1i0；若z1z2，z2z3，则z1z3；若z1z2，则对于任意zC，z1zz2z；对于复数z0，则zz1zz2.其中真命题是()A B C D解析：对命题，1的实部是1，i的实部是0，故正确；对命题，设z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，由已知得a1a2或a1a2且b1b2，a2a3或a2a3且b2b3，显然有a1a3，若a1a3，则z1z3，若a1a3，则a1a2a3，b1b2b3，也有z1z3，故正确；对命题，设zabi(a，bR)，由z1z2得a1a2
6、或a1a2且b1b2，从而a1aa2a或a1aa2a且b1bb2b，z1zz2z，故正确；对命题，z11i，z22i，z2i，则有z1z2，但zz122i，zz24，显然有zz2zz1，故错误答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为68i，对应的复数为46i，则对应的复数为_解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得，两式相加，可得2214i，所以17i.法二：如图，把向量平移到向量的位置，可得()17i.答案：17i14设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.解析：(1i)(
7、ai)a1(a1)i，由题意得a10，a1.答案：115若复数zsin i是纯虚数，则tan _.解析：因为zsin i是纯虚数，所以则所以cos ，所以tan .答案：16已知复数z(2ai)(1bi)的实部为2，其中a，b为正实数，则4a1b的最小值为_解析：因为复数z(2ai)(1bi)2ab(12ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，所以2ab2，所以4a1b22a2b1222.当且仅当a，b时取等号答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知(2i)7i，求z及.解析：设zabi(a，bR)，则abi.所以 (2i
8、)(abi)7i，所以(2ab)(a2b)i7i，所以解得所以z3i.所以3i，所以i.18(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(1，b)(a，bR)是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.(1)若z1z21i，求z1，z2；(2)若|z1z2|2，z1z2为实数，求a，b的值解析：向量(a1，1)，(3，b3)对应的复数分别为z1(a1)i，z23(b3)i.(1)若z1z2(a4)(b4)i1i.所以a41，b41.解得ab5.所以z14i，z232i.(2)若|z1z2|2，z1z2为实数，所以2，(a2)(2b)iR，所以2b0，解得b2
9、，所以(a4)244，解得a4.所以a4，b2.19(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,1)，B(a,3)，aR.(1)若|z1z2|，求a的值；(2)若复数zz12对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值解析：由复数的几何意义可知z12i，z2a3i.(1)因为|z1z2|，所以|2a2i|，即(a1)(a3)0，解得a1或a3.(2)复数zz12(2i)(a3i)(2a3)(a6)i.由题意可知，点(2a3，a6)在直线yx上，所以a6(2a3)，解得a9.20(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是32i与14i，两对角线AC
10、与BD相交于P点(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求APB的面积解析：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以，于是(2,2)即对应的复数是22i.(2)由于(3,2)(2,2)(5,0)即对应的复数是5.(3)由于，于是，而|，|，所以cos APB，因此cos APB，故sin APB，故SAPB|sin APB.即APB的面积为.21(本小题满分12分)已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值解析：法一：设z34i，所以z34i，所以z1i45i，又|z1i|1，所以|45i|1.可知对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|max1，
11、|min1.图(1)图(2)法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3，4)的距离，在圆上与(3，4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z34i|max1，|z34i|min1.22(本小题满分12分)已知关于x的方程x2(tan i)x(2i)0.(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明：对任意k(kZ)，方程无纯虚数根解析：(1)原方程可化为x2xtan 2(x1)i0，设方程的实数根为x0，则即又是锐角，故.(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b0，bR，则b2(tan i)bi(2i)0，即b2ibtan b2i0，可得b2b20，解得b，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根