1、河北省邯郸市大名县第一中学2021届高三数学上学期第十二周周测试题一、单选题1直线的倾斜角为（ ）A锐角B直角C钝角D不存在2在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD3在直角三角形中，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（ ）ABCD4直线恒过一定点，则该定点的坐标（ ）ABCD5如图，在正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）A平面平面 B平面C D平面6已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B C D7三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为（ ）ABCD8已
2、知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是( )A若,且,则 B若,则C若，,则 D若,，则9如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是（ ）A三棱锥 B四棱锥 C三棱台 D四棱台10如图，在正方体中，点在面对角线上运动，给出下列四个命题：平面；平面平面；三棱锥的体积不变.则其中所有正确命题的序号是（ ）A B C D二、多选题11如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是( )A BC平面 D平面平面12如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A在棱上存在点M，使平面B异面直线与所成的角为
3、90C二面角的大小为45D平面三、填空题13已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为 14如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_ 15已知四棱锥，底面为正方形，平面，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为_16如图，在四面体中，二面角的大小为，、都是腰长为1等腰直角三角形，且，则A，C两点间的距离是_四、解答题17如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.18已知数列的前项和.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）设的前项和是，求证.高三第十二周周考数学试题一、单选题1直线的倾
4、斜角为（ ）A锐角B直角C钝角D不存在【答案】C【解析】【分析】设直线的倾斜角为，由斜率的概念可得，即可得解.【详解】设直线的倾斜角为，由直线的斜率可得，所以该直线的倾斜角为钝角.故选：C.【点睛】本题考查了由直线斜率确定倾斜角的范围，考查了运算求解能力，属于基础题.2在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意，所以，设异面直线与所成角为，则.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.3在直角三角形中，以边所在直线
5、为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的定义以及圆锥的体积公式即可求出【详解】根据题意以及圆锥的定义可知，将该直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，高为，所以其体积为.故选：C【点睛】本题主要考查圆锥的定义以及圆锥的体积公式的应用，属于容易题4直线恒过一定点，则该定点的坐标（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】合并同类项后确定定点坐标.【详解】由得，所以，解得，所以定点坐标为.故选：B【点睛】本小题主要考查直线过定点，属于基础题.5如图，在正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）A平面平面B平
6、面CD平面【答案】B【解析】【分析】根据正方体中的线面关系、面面关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为在正方体中，易知，平面，平面，所以平面，又平面，从而平面平面，A正确；因为平面即为平面，而点P为线段上的动点，所以不能满足恒成立，因此不一定垂直平面，即平面不一定成立；故B错；因为正方体中，平面，所以，所以当点P在线段上运动时，始终有，所以C正确；因为在正方体中，平面平面，而平面，所以平面，D选项正确；故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面垂直或平行关系的判定，属于常考题型.6已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】直线yx
7、2与两坐标轴的交点设为A(0，2)，B(2，0)，利用直线和的斜率表示可得结果.【详解】直线yx2与两坐标轴的交点设为A(0，2)，B(2，0)，如图：设直线的斜率为，则，要使两直线的交点位于第一象限，只需k满足：，即k.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜率公式，属于基础题.7三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】空间四个点在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点的球面即为的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为，球心O到平面A
8、BC的距离为体对角线的,即球心O到平面ABC的距离为.其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为：.故选B.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解8已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是( )A若,且,则B若,则C若，,则D若,，则【答案】A【解析】【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A是否正确；根据线面平行的
9、判定定理判断B是否正确；根据面面平行的判定定理判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D是否正确.【详解】l，lm，m，m，A正确；mn，n，有可能m，B错误；m，n，m，n，m、n不一定相交，、不一定平行；C错误；根据面面垂直的性质判断D错误；故选A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件9如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是（ ）A三棱锥B四棱锥C三棱台D四棱台【答案】B【解析】【分析】根据棱锥的定义和空间结合体的结构特征，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是四棱锥，故选B.【点睛】
10、本题主要考查了棱锥的定义及其判定，其中解答中熟记棱锥的定义，以及空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.10如图，在正方体中，点在面对角线上运动，给出下列四个命题：平面；平面平面；三棱锥的体积不变.则其中所有正确命题的序号是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由面面平行的判定与性质判断正确；由特殊点可以说明错误；由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断正确；利用等积法说明正确【详解】对于，连接，可得，平面平面，从而有平面，故正确；对于，连接，可知是等边三角形，三角形内角为，所以所成角为，所以当点与重合时，不满足，故错误；对于，连接，由且，可得平面，又平面，由面面垂
11、直的判定知平面平面，故正确；对于，容易证明，从而平面，故上任意一点到平面的距离均相等，以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确正确命题的序号是故选：C【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何元素位置关系的证明，考查三棱锥的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多选题11如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是( )ABC平面D平面平面【答案】BD【解析】【分析】由题意结合线面垂直的性质及平面几何知识可得、，再由线面垂直的判定、性质可判断B，由面面垂直的判定可判断D；结合线面垂直的判定、性质可判断A、C；即可得解.
12、【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以，又点是圆周上异于，任一点，所以，对于A，若，则可得平面，则，与矛盾，故A错误；对于B、D，可知平面，所以，由平面可得平面平面，故B、D正确；对于C，由与不垂直可得平面不成立，故C错误.故选：BD.【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定与性质的应用，关键是熟练掌握性质定理和判定定理，属于基础题.12如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A在棱上存在点M，使平面B异面直线与所成的角为90C二面角的大小为45D平面【答案】ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.【详解】解：如图，对于，
13、取的中点，连接，侧面为正三角形，又底面是菱形，是等边三角形，又，平面，平面，故正确.对于，平面，即异面直线与所成的角为90，故正确.对于，平面平面，平面，是二面角的平面角，设，则，在中，即，故二面角的大小为45，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.三、填空题13已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为 _.【答案】【解析】试题分析：因为直线经过，点两点，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为.考点：直线的斜率与倾斜角.14如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_ 【答案】【解析】【
14、分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.【详解】所以，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.15已知四棱锥，底面为正方形，平面，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为_【答案】【解析】【分析】计算出四棱锥的表面积，利用等体积法计算出球的半径.【详解】依题意底面为正方形，平面，所以，由于，所以平面，平面，所以，设内切球的半径为， 四棱锥的表面积，则有，解得故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，属于基础题.16如图，在大小为45的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是_【答案】【解析】【分析】利用空
15、间向量的线性运算以及向量模的求法即可求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的线性运算、空间向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.四、解答题17如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）记线段的中点M，方法一：通过证明四边形为平行四边形，进而可得，即可证得结论；方法二：证明面面，进而证得结论.（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.分别求得法向量，通过，进而可求得正弦值.【详解】（1）解法1：记线段的中点M，连接，
16、.，且.四边形为平行四边形，.，；，.四边形为平行四边形，.又面，面，面（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.则，.设平面的法向量为，则，.令，则，.为平面的一个法向量.易得为平面的一个法向量.设二面角的大小为，则.，即二面角的正弦值为.解法2：（1），面，面.同理，面，面.又，面面.又面，面.（2）同解法1.【点睛】本题考查线面平行证明，考查向量法求二面角，考查计算能力，属于基础题.18已知数列的前项和，若不等式对恒成立.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）求实数的取值范围；（3）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析，； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，利用与的关系可得，再利用等差数列的定义即可证出，进一步利用等差数列的通项公式可求. （2）将不等式转化为，记，判断的单调性，求出的最大值，从而求出的取值范围. （3）由，利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）当时，得.当时，又，两式相减，得：，得，所以，又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，即；（2）因为，故不等式等价于.记，则当时，；当时，从而；当时，即综上，所以，即.（3），所以.【点睛】本题考查了与的关系、等差数列的定义、等差数列的通项公式、数列的单调性以及裂项求和法，属于基础题.
