1、章末综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lAC若直线lA，显然有l，Al，但A.2下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有()A3个B2个C1个D0个D当空间三点共线时不能确定一个平面；点在直 线上时不能确定一个平面；两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；三条直线交于一点且不共面时不能确
2、定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面3在长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A30 B45 C60 D90D由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD90.4已知a，b，c是直线，则下面四个命题：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等其中真命题的 个数为()A0 B3 C2 D1D异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确5把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面A
3、BC所成的角的 大小为()A30 B45 C60 D90B当三棱锥DABC的体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，连接OD，OB，则DBO是等腰直角三角形，即DBO45.6设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则lB选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得，故选项C错误；选项D，l与的位置不确定，故选项D错误故选B.7如图，点S在平面ABC外，SBAC，SBAC2，E，F分别是SC和AB的中点， 则EF的长是()A1 BC DB取C
4、B的中点D，连接ED，DF，则EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即EDF90.在EDF中，EDSB1，DFAC1，所以EF.8设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一个平面B若，则内有无数条直线与平行，反之不成立；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立因此B中条件是的充要条件故选B.9在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余
5、各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A BC DC取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF，BE，BF，因为EF2BE2BF2，所以BEF为直角三角形，cos .10如图，在多面体ACBDE中，BDAE，且BD2，AE1，F在CD上，要使AC平面EFB，则的值为()A3 B2C1 DB连接AD交BE于点O，连接OF, 因为AC平面EFB，平面ACD平面EFBOF，所以ACOF. 所以. 又因为BDAE，所以EOABOD，所以2. 故2.11设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所
6、成角为，二面角PACB的平面角为，则()A，B，C， D，B如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，过D作DEAC于E，易得PEVG，过P作PFAC交VG于F，过D作DHAC，交BG于H，则BPF，PBD，PED，则cos cos ，又、，可得；tan =tan ，可得.12如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G. 给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A与 B与C与 D与B由SGGE，
7、SGGF，GEGFG，GE平面EFG，GF平面EFG，得SG平面EFG，排除C，D，若SE平面EFG，则SGSE. 这与SGSES矛盾，排除A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13直线l1l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是_.1因为l1l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面14在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB13，则对角线AC与平面DEF的位置关系是_.平行因为AEEBCFFB13，所以EFAC. 又因为AC平面DEF，EF平面DEF，所以AC平面DEF.15已知平面平面l，点A
8、，B，点C 平面，且Cl，ABlR.若过A，B，C三点的平面为平面， 则_.CR根据题意画出图形，如图，因为点C，且点C，所以C. 因为点RAB，所以点R.又R，所以R，从而CR.16已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_.36如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3，S球表4r236
9、.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.证明(1)C1C平面ABC，C1CAC.AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C.(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.18(本
10、小题满分12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，ABCD，且ABCD. 试问在PC上能否找到一点E，使得BE平面PAD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由解在PC上能找到点E，且满足，可使BE平面PAD.证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.在梯形ABCD中，ABCD，ABCD.所以，所以.又，所以在PFC中，所以BEPF.而BE平面PAD，PF平面PAD，所以BE平面PAD.19(本小题满分12分)如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACB90，BAC60，PAAC，M为PB的中点(1)求证：PCBC；(2)求二面角MACB的大小解(1)证明：由P
11、A平面ABC，所以PABC，又因为ACB90，即BCAC，PAACA，所以BC平面PAC，所以PCBC.(2)取AB中点O，连接MO，过O作HOAC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MOPA，又因为PA平面ABC，所以MO平面ABC，所以MHO为二面角MACB的平面角，设AC2，则BC2，MO1，OH，在RtMHO中，tan MHO，所以二面角MACB的大小为30.20(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE
12、？说明理由解(1)因为PA平面ABCD，且BD平面ABCD，所以PABD.又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PA平面PAC，AC平面PAC，PAACA，所以BD平面PAC.(2)因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.又ABCD，所以ABAE.又PA平面PAB，AB平面PAB，PAABA，所以AE平面PAB.又AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.因为G，F分别为PA，PB的中点，则
13、FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形，所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解(1)如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，所以cos
14、 DAP.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF与平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sin DFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.22(本小题满分12分)如图，在RtAB
15、C中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解(1)证明：D，E分别为AC，AB的中点，DEBC.又DE平面A1CB，BC平面A1CB，DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，A1DCDD，DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，DEA1F.又A1FCD，DECDD，A1F平面BCDE，BE平面BCDE，A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又DEBC，DEPQ.平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，DEA1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，DEDPD，A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C平面DEQ.