1、基础题组练1已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(，0) B(0，)C(，0)或(，0) D(0，)或(，0)解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，即m4，所以椭圆x21的焦点坐标为(0，)，故选B.2(2019高考北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b解析：选B.由题意得，所以，又a2b2c2，所以，所以4b23a2.故选B.3曲线1与曲线1(kb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D
2、1解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.5(2020昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A. B. C. D3解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF
3、2|.所以.故选A.6若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 解析：由题意可得bc，则b2a2c2c2，ac，故椭圆的离心率e.答案：7(2020江西南昌模拟)若椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 解析：由题意可知e，2b4，得b2，所以解得所以椭圆的标准方程为1.答案：18(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 解析：通解：由椭圆C：1，得c4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|F1F2|2c8，于是由椭圆的定义得|MF1|MF2|12，所以|MF2
4、|12|MF1|4，易知MF1F2的底边MF2上的高h2，所以|MF2|h|F1F2|yM，即428yM，解得yM，代入椭圆方程得xM3(舍去)或xM3，故点M的坐标为(3，)优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|F1F2|8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|exM6xM68，解得xM3，代入椭圆方程得yM，故点M的坐标为(3，)答案：(3，)9已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为
5、1.(2)易知|yP|4，又c3，所以SF1PF2|yP|2c4612.10分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆的方程为1或1.综合题组练1(2020合肥市第二次质量检测)已知椭
6、圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D解析：选D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1PAP，结合F2BAP知F1PF2B.又|F1B|F2B|，所以BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|OF2|，即bc，所以a2b2c22c2，即ac，所以椭圆的离心率e，故选D.2(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B
7、.1C.1 D1解析：选B.由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12()2，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B.3已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c
8、.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.4(2019高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2，又由知y2，故b4.由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)
