1、第5讲指数函数一、知识梳理指数函数的图象及性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，)单调性减增函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0时，y1常用结论1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的
2、图象越高，底数越大二、教材衍化1若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1) 答案：2已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是 解析：因为y是减函数，所以，即ab1，又c1，所以cba.答案：cb1)的值域是(0，)()(3)函数y2x1是指数函数()(4)若am0，且a1)，则m0且a1，所以a4.答案：42若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是 解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若方程|3x1|k有一解，则k的取值范围为 【解析】(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上
3、是减少的，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.答案：(0，)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是 解析：作出函数y|3x1|k的图象如图所示由图象知k1，即k(，1答案：(，1【迁移探究3】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y|3x1|的图象知其在(，0上是减少的，所以k(，0指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住关键点(2)已知函数解析式判断其图象一般是
4、取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论1已知函数f(x)ax22(a0且a1)的图象恒过定点A，则A的坐标为()A(0，1)B(2，3)C(3，2) D(2，2)解析：选B.令x20，则x2，f(2)3，即A的坐标为(2，3)2(2020河北武邑中学调研)函数ye|x1|的大致图象是()解析：选B.因为|x1|0，所以0e|x1|e0，即00且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 解析：(1)当0a1时，y|ax1|的图象
5、如图.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1，所以0a1时，y|ax1|的图象如图，而y2a1不可能与y|ax1|有两个交点综上，0a.答案：指数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较指数幂的大小 已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()Acab BbacCacb Dab，所以，即bac.【答案】B比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐
6、标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小角度二解简单的指数方程或不等式 不等式恒成立，则a的取值范围是 【解析】由题意，y是减函数，因为2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，解得2a0，且a1)的函数求值域时，要借助换元法：令uf(x)，先求出uf(x)的值域，再利用yau的单调性求出yaf(x)的值域(2)形如yaf(x)(a0，且a1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数yaf(x)在区间(m，n)上的单调性与
7、f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数yaf(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反1函数y的值域是()A(，4)B(0，)C(0，4 D4，)解析：选C.设tx22x1，则y.因为01，所以y为关于t的减函数因为t(x1)222，所以00时，1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1a0时，11.因为x0时，bx0时，1.所以1，所以ab.所以1b0且a1)的函数、方程、不等式问题，通常令tax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法已知
8、函数f(x)，a为常数，且函数的图象过点(1，2)(1)求a的值；(2)若g(x)4x2，且g(x)f(x)，求满足条件的x的值解：(1)由已知得2.解得a1.(2)由(1)知f(x)，又g(x)f(x)，则4x2，所以20，令t，则t0，t2t20，即(t2)(t1)0，又t0，故t2，即2.解得x1，故满足条件的x的值为1. 基础题组练1若函数f(x)(2a5)ax是指数函数，则f(x)在定义域内()A为增函数B为减函数C先增后减 D先减后增解析：选A.由指数函数的定义知2a51，解得a3，所以f(x)3x，所以f(x)在定义域内为增函数2设函数f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在
9、区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()AMN BMNCMN解析：选D.因为f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以a2，所以M(a1)0.21，NN，故选D.3已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为()A9，81 B3，9C1，9 D1，)解析：选C.由f(x)过定点(2，1)可知b2，所以f(x)3x2且在2，4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.4.已知函数ykxa的图象如图所示，则函数yaxk的图象可能是()解析：选B.由函数ykxa的图象可得k0
10、，0a1，所以1k0时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f(x)是奇函数，且是增函数，故选C.6不等式2x22x的解集为 解析：不等式2x22x 可化为，等价于x22xx4，即x23x40，解得1x4.答案：x|1x0，a1)满足f(1)，则f(x)的递减区间是 解析：由f(1)得a2.又a0，所以a，因此f(x).因为g(x)|2x4|在2，)上是增加的，所以f(x)的递减区间是2，)答案：2，)8设偶函数g(x)a|xb|在(0，)上是增加的，则g(a)与g(b1)的大小关系是_解析：由于g(x)a|xb|
11、是偶函数，知b0，又g(x)a|x|在(0，)上是增加的，得a1.则g(b1)g(1)g(1)，故g(a)g(1)g(b1)答案：g(a)g(b1)9已知函数f(x).(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值解：(1)令t|x|a，则f(x)，不论a取何值，t在(，0上是减少的，在(0，)上是增加的，又y是减少的，因此f(x)的递增区间是(，0，递减区间是(0，)(2)由于f(x)的最大值是，且，所以函数g(x)|x|a应该有最小值2，从而a2.10(2020福建养正中学模拟)已知函数f(x)2x，g(x)x22ax(3x3)(1)若g(x)在3，3上是单调函数，求a
12、的取值范围；(2)当a1时，求函数yf(g(x)的值域解：(1)g(x)(xa)2a2图象的对称轴为直线xa，因为g(x)在3，3上是单调函数，所以a3或a3，即a3或a3.故a的取值范围为(，33，)(2)当a1时，f(g(x)2 (3x3)令ux22x，y2u.因为x3，3，所以ux22x(x1)211，15而y2u是增函数，所以y215，所以函数yf(g(x)的值域是.综合题组练1(2020辽宁大连第一次(3月)双基测试)函数y(xR)的值域为()A(0，) B(0，1)C(1，) D.解析：选B.y1，因为2x0，所以12x1，所以01，10，011，即0y0，a1)在区间1，2上的最
13、大值为8，最小值为m.若函数g(x)(310m)是增函数，则a_解析：根据题意，得310m0，解得m1时，函数f(x)ax在区间1，2上是增加的，最大值为a28，解得a2，最小值为ma1，不合题意，舍去；当0a1时，函数f(x)ax在区间1，2上是减少的，最大值为a18，解得a，最小值为ma2，满足题意综上，a.答案：3已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)0等价于f(t22t)2t21即3t22t10.解得t1或t，所以该不等式的解集为.