1、2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课时过关能力提升基础巩固1在平行四边形ABCD中ab,且(a+b)2=(a-b)2,则平行四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.正方形D.以上都不对解析:(a+b)2=(a-b)2,(a+b)2-(a-b)2=0,(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=0,4ab=0,ab,ABAD,平行四边形ABCD是矩形.答案:B2在ABC中,C=90A.5B.-5C解析:由题意,C=90,2(2-k)+32=0.k=5.答案:A3在ABC中,若ABC为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.形状无法确定解析:CA=CB,ABC为等腰三角
2、形.答案:C4在四边形ABCD中,0A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析:0,四边形ABCD是平行四边形.该平行四边形是菱形.答案:D5点O是ABC所在平面内的一点,满ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点解析:OBCA,OACB,OCAB,即点O是ABC的三条高线的交点.答案:D6在四边形ABCD中,A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:DC,且AB=DC,四边形ABCD是平行四边形.ABAD,四边形ABCD是矩形.答案:C7过点A(1,2),且平行于向量n=(2,1)的直线方程为()A.x-2y-3=0B.x-2
3、y+3=0C.2x-y+3=0D.以上都不正确解析:设直线上一点P(x,y),n,2(y-2)-(x-1)=0,即x-2y+3=0.答案:B8在ABC中,已知答案:等边三角形9ABC的外接圆的圆心为O,半径为1解设BC的中点是D,如图,所以O和D重合,所以BC是圆O的直径,所以BAC=90.所以ABC=60,所60=1210在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量法证明四边形AECF也是平行四边形.分析转化为证明AEFC,且AE=FC,即只需证.证AE,FC平行且相等.四边形AECF是平行四边形.能力提升1如图,在矩形ABCD中,ABA.
4、2BC.-2D.解析:答案:B2已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|A解析:如图,ABD为AB的中点,又OA=1,AODAOB答案:D3在RtABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,A.2B.4C.5D.10解析:将ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,答案:D4已知在ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,则点D的坐标为.解析:设点D的坐标为(x,y),整理点D的坐标为(1,1).答案:(1,1)5已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则解析:如图,ab,则ab=0b-a,a+b),其
5、中x0,1,所a-x(a+b)=(1-x)a-xb,b-x(a+b)=-xa+(1-x)b,所a+b)+b-a(1-x)a-xb-xa+(1-x)b=(x-1)a+(x+1)b(1-2x)a+(1-2x)b=-16x2+8x=-1由于x0,1,则-11.答案:16在ABC中,C=90,D是AB的中点,用向量法证明CD分析找一组基底,分别表证明如图,ab,则a与b的夹角为90,ab=0.b-aa+b),a+b|b-a|7在ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形.分析,转化为证证明ab,由于四边形ABCD是平行四边形,a+bb-a.AC=BD,|a+b|=|b-a|.|a+b|2=|b
6、-a|2.|a|2+2ab+|b|2=|b|2-2ab+|a|2,ab=0.ab,AD.故四边形ABCD是矩形.8用向量的方法证明:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.证明如图,作向ab作为基底,由菱形性质得|a|=|b|.于是,由平行四边形法则a+ba-b,a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,即ACDB,得菱形两条对角线互相垂直.设DAC=1,BAC=2,由向量数量积的定义得cos 1cos 2|a|=|b|,ab=ba,cos 1=cos 2.01180,02180,1=2,即AC平分DAB,同理可证AC平分BCD,BD平分ADC,ABC,即菱形每一条对角线平分一组对角.