1、第2讲一元二次不等式及其解法一、知识梳理1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)当a0时，解集为(2)当a000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0(0(0对任意实数x恒成立(2)一元二次不等式ax2bxc0的解集为 答案：2若关于x的一元二次方程x2(m1)xm10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 答案：(，1)(3，)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集
2、为R.()(3)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(4)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc3(x7)的解集为 解析：2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3)0，解得x7，所以原不等式的解集为.答案：3对于任意实数x，不等式mx2mx10恒成立，则实数m的取值范围是 解析：当m0时，mx2mx110，不等式恒成立；当m0时，由解得4m3的解集为 (2)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是 (3)解关于x的不等式：12x2axa2(aR)【解】(1)由题意或解得x1.故填x|x1(2)由题意，
3、知，是方程ax2bx10的两个根，且aa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，解集为x|xR，且x0；当a，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0时，不等式的解集为.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式与0的关系；确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定
4、方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式1(2020河南开封模拟)不等式0x2x24的解集为 解析：原不等式等价于即即解得借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3答案：2，1)(2，32解不等式ax2(a1)x10)解：因为a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解(x1)0得1x.综上所述，当0a1时，解集为.一元二次不等式恒成立问题(多维探究)角度一形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围 若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是 【解析】当a20，即a2
5、时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0，则实数a的取值范围是 【解析】设f(x)x22(a2)xa.因为对于任意的x(，1)(5，)，都有f(x)x22(a2)xa0，所以0或解得1a4或4a5，即10，|a|1恒成立的x的取值范围【解】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9，则1a1.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.则实数x的取值范围为(，2)(4，)形如f(x)0
6、或f(x)0恒成立，求实数b的取值范围解：由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以当x1，1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b2b20恒成立，解得b2.所以实数b的取值范围为(，1)(2，)思想方法系列12转化与化归思想在不等式中的应用 (2020安徽马鞍山模拟)不等式f(x)ax2xc0的解集为x|2x0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根(如本例)，也是函数yax2bxc与x轴交点的横坐标(2)二次函数yax2bxc的图
7、象在x轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的；图象在 x轴下方的部分，是由不等式ax2bxc0的解集为()A.B.C.D.解析：选B.由2x2x30，得(x1)(2x3)0，解得x或x0的解集为.2若集合Ax|x2x20，集合B，则AB()A(1，2)B(，1)(1，)C(1，1) D(1，0)(0，1)解析：选D.因为Ax|2x1，Bx|1x0或0x1，所以ABx|1x0或0x1，即AB(1，0)(0，1)，故选D.3若不等式ax2bx20的解集为x|x，则的值为()A. B.C D解析：选A.由题意得方程ax2bx20的两根为与，所以，则11.4(2020安徽淮北一中模拟)若
8、(x1)(x2)2，则(x1)(x3)的取值范围是()A(0，3) B4，3)C4，0) D(3，4解析：选C.由(x1)(x2)2解得0xx(x2)的解集是 解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27若0a0的解集是 解析：原不等式可化为(xa)0，由0a1得a，所以ax.答案：8规定符号“”表示一种运算，定义abab(a，b为非负实数)，若1k23，则k的取值范围是 解析：因为定义abab(a，b为非负实数)，1k23，所以1k23，化为(|k|2)(|k|1)0，所以|k|1，所以1k0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2
9、5xa210的解集解：(1)由题意知a0，即为2x25x30，即2x25x30，解得3x0的解集为.10函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，所以实数a的取值范围是6，2(2)当x2，2时，设g(x)x2ax3a0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图
10、，g(x)图象与x轴有交点，但当x(x，2时，g(x)0.即即可得所以7a6.综上，实数a的取值范围是7，2综合题组练1若关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是()A(4，5) B(3，2)(4，5)C(4，5 D3，2)(4，5解析：选D.将不等式x2(a1)xa0化为(x1)(xa)1时，得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5；当a1时，得ax0)有两个实根x1，x2.(1)求(1x1)(1x2)的值；(2)求证：x11且x20)有两个实根x1，x2.所以x1x2，x1x2，则(1x1)(1x2)1x1x2x1x211.(2)证明：由0，得00，所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(1，0)的左侧，故x11且x21.(3)由2.因为，所以2a.又0a，所以a的取值范围为.
