1、第一章 三角函数13 三角函数的诱导公式(二)内 容 标 准学 科 素 养1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.发展逻辑推理应用数学抽象提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 诱导公式五、六阅读教材 P26，思考并完成以下问题类比公式一四可得 sin2、cos2 与 的函数值有什么关系？(1)若 为锐角，2 的终边在第
2、几象限？2 的终边与 的终边有什么关系？提示：第二象限，关于 yx 对称(2)若 6终边上有点32，12，则 sin2 _，cos2 _，与 的函数值有什么关系？提示：sin2 sin26 cos 32.cos2 cos26 sin 12.(3)若 6终边上有点32，12，则 sin2 _，cos2 _提示：sin2 sin26 cos6 32.cos2 cos26 sin612.知识梳理(1)诱导公式五 sin2 _，cos2 _诱导公式六 sin2 _，cos2 _cos sin cos sin(2)公式五六归纳：2 的正弦(余弦)函数值，分别等于 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 看
3、成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”(3)sin32 _，cos32 _，sin32 _，cos32 _cos sin cos sin 自我检测1已知 sin 513，则 cos2 等于()A.513 B.1213 C 513 D1213答案：C2若 cos(2)53，则 sin32 等于()A 53B23C.53D 53答案：A探究一 利用诱导公式化简、求值教材 P27 例 4方法步骤：利用公式一六化简每个三角函数例 1(1)已知 sin6x 35，则 cosx3 的值是_解析 因为6x x3 2，所以 cosx3 cos26x sin6
4、x 35.答案 35(2)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _解析 法一：因为 sin4 35，所以 cos4 sin24 sin4 35，因为 为第四象限角，所以22k2k，kZ，所以34 2k42k4，kZ，所以 sin4 135245，所以 tan4 sin4cos443.法二：因为 是第四象限角，且 sin4 35，所以 4为第一象限角，所以cos4 45，所以 tan4 sin4cos4cos24sin24cos4sin443.答案 43(3)化简：sin（2）cos（）cos2 cos72 cos（）sin（3）sin（）sin52.解析 原式sin（cos）s
5、in（sin）（cos）sin（sin）cos sin cos tan.方法技巧 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如3 与6，3 与6，4 与4 等互余，3 与23，4 与34 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题延伸探究 1.将本例(1)改为：已知 sin3 12，则 cos6 的值为_解析：cos6 cos23 sin3 12.答案：122将本例(2)改为sin2 cos2cos（）sin（）cos2sin（）_解析：原式cos sin cos sin（sin）sin sin sin 0.答案：0探究二 利用诱导公式证明恒等式教材 P26
6、 例 3方法步骤：利用诱导公式化简的方法例 2 在ABC 中，(1)求证：cos2AB2cos2C21；(2)若 cos2A sin32 B tan(C)0，求证：ABC 为钝角三角形证明(1)在ABC 中，ABC，AB22C2，cosAB2cos2C2 sinC2，cos2AB2cos2C2sin2C2cos2C21.(2)若 cos2A sin32B tan(C)0，则(sin A)(cos B)tan C0，即 sin Acos Btan C0.在ABC 中，0A，0B，0C0，cos B0，或cos B0，tan C0，B 为钝角或 C 为钝角，ABC 为钝角三角形 方法技巧 证明等式
7、的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异跟踪探究 1.设 tan87 m，求证：sin157 3cos137sin207 cos227m3m1.证明：法一：左边sin87 3cos87 3sin487cos287sin87 3cos87sin87 cos87tan87 3tan87 1m3m1右边，所以原等式成立法二：由 tan87 m，得 tan7 m，左边sin27 3cos27sin27 cos
8、27sin7 3cos7sin7 cos7sin7 3cos7sin7 cos7tan7 3tan7 1m3m1右边，所以原等式成立探究三 诱导公式的综合应用教材 P29B 组第 2 题方法步骤：选用合适的诱导公式化简求值例 3 是否存在角，2，2，(0，)，使等式 sin(3)2cos2，3cos()2cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解析 假设存在角，满足条件，由题意得sin 2sin，3cos 2cos，22，得 sin23cos22.cos212，cos 22.又 2，2，cos 22.由 cos 22，3cos 2cos，得 cos 32.(0，)，6.si
9、n 12，结合可知 sin 22，则 4.故存在 4，6满足条件方法技巧 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱跟踪探究 2.已知 f()sin（）cos（）sin2cos（）sin（）.(1)化简 f()；(2)若角 A 是ABC 的内角，且 f(A)35，求 tan Asin A 的值解析：(1)f()sin cos cos cos（sin）cos.(2)因为 f(A)cos A35，又 A 为ABC 的内角，所以由平方关系，得 sin A 1cos2A45，所以 tan Asin Acos A43，所以 ta
10、n Asin A4345 815.课后小结1这六组诱导公式可归纳为 k2(kZ)的三角函数值与 的三角函数值之间的关系，当 k 为偶数时，得角 的同名三角函数值，当 k 为奇数时，得角 的余名三角函数值，然后前面加上一个把角 看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”2利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成0，2 内的三角函数值”这种方式求解用诱导公式把任意角的三角函数转化为 0 到2之间的角的三角函数的基本步骤：任意负角的三角函数利用诱导公式一或三任意正角的三角函数利用诱导公式一0到2之间的角的三角函数利用诱导公式二或四0到2
11、之间的角的三角函数3诱导公式在ABC 中的变形在ABC 中，常用到以下结论：sin(AB)sin(C)sin C，cos(AB)cos(C)cos C，tan(AB)tan(C)tan C，sinA2B2 sin2C2 cosC2，cosA2B2 cos2C2 sin C2.素养培优1根据“”的系数讨论不全致解题不完备典例 化简：sin2n14 cos2n14，kZ.易错分析 此题易错于只对 n 为奇数，偶数两种情况讨论，还有其他情况仍符合诱导公式自我纠正 解析 当 n4k 时(kZ)，原式sin8k14 cos8k14sin4 cos4 sin4 cos4 sin4 cos24 sin4 s
12、in4 0.当 n4k1 时，原式sin34 cos4 sin24 cos4 cos4 cos4 0.当 n4k2 时，原式sin54 cos34 sin4 sin4 0.当 n4k3 时，原 式 sin 74 cos 54 sin 324 cos 4 cos 4 cos4 0.综上，sin2n14 cos2n14 0.2忽视角的隐含范围丢解或增解典例(1)在ABC 中，若 sin(BC)2sin(B)，3cos(BC)2cos(B)，求ABC 的三个内角易错分析 此题易忽视角为三角形内角的隐含条件致多解自我纠正 解析 由已知，得 sin A 2sin B，3cos A 2cos B，两式平方
13、相加，得 sin2A3cos2A2，即 2cos2A1，cos A 22.若 cos A 22，则 cos B 32，此时 A，B 均为钝角，不符合题意cos A 22，cos B 32cos A 32，A4，B6，C(AB)712.(2)已知 cos2 2cos32 ，3sin32 2sin2，0，0，求，.易错分析 此题易忽视范围，而只认为为“锐角”而少解自我纠正 解析 由已知得 sin 2sin，3cos 2 cos.两式平方相加得 sin23cos22，即 sin23(1sin2)2，sin212，又 0，sin 22，则 4或34.当 4时，cos 32cos 32.又 0，6.当 34 时，cos 32cos 32.又 0，56.综上可得，4，6或 34，56.3公式变换致错典例 设 f(sin x)3cos 2x，则 f(cos x)()A3cos 2x B3sin 2xC3cos 2xD3sin 2x易错分析 正余弦关系变换出错，易错选为其他答案自我纠正 解析 cos xsin2xf(cos x)fsin2x3cos 22x 3cos(2x)3cos 2x.选 C.答案 C课时 跟踪训练
