1、22直接证明与间接证明22.1综合法和分析法1结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法2了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性1综合法(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法其一般表示形式是由因导果(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：2分析法(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，
2、把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：3分析综合法(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立这种证明方法称为分析综合法(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：1设x，yR，且xy6，则lg xlg y的取值范围是(B)A(，lg 6B(，2lg 3Clg 6，) D2lg 3，)解析：x，yR，xy6，
3、26，即0xy9，lg xylg 9，即lg xlg y2lg 3.故选B.2分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证：a”索的因应是(C)Aab0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0解析：ab2ac3a23a2ac(ac)20(2ac)(ac)0(ab)(ac)0.故选C.3已知f(x)x2，则f(3)的值为_解析：f(x)x2，f(x)2x，f(3)236.答案：64当a_时，函数f(x)x22(a1)x3在5，)上是增函数解析：f(x)x22(a1)x3在5，)上是增函数a15a6.答案：(，6(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学
4、公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野 1当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思
5、路2用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“”，有些步骤也可用“”，但不能用“”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“”表达3综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等这些方法是综合法和分析法的延续与补充1“对于任意角，cos4sin4cos 2 ”的证明过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”
6、应用了(B)A分析法B综合法C综合法与分析法结合使用D演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2要证明4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B)A综合法 B分析法C比较法 D归纳法解析：要证明4，只需证明()216，即8216，即证明4，亦即只需证明1516，而150，S5S4.4要使 成立，则a，b应满足的条件是(D)Aab0且abBab0且abCab0且abDab0且ab或ab0且ab解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件ab33ab，当ab0时，有，即ba；当ab0时，由，即ba.所以选D.5已知a，b，c是三条互不重合的直线，是两个不
7、重合的平面，给出四个命题：ab，b，则a；a，b，a，b，则；a，a，则；a，b，则ab.其中正确命题的个数是(B)A1 B2 C3 D4解析：因为ab，ba或a，所以不正确因为a，b，a，b，当a与b相交时，才能，所以不正确，过a作一平面，设c，则ca，又ac，所以正确a，bab，所以正确综上知，正确6a0，b0，则下列不等式中不成立的是(D)AAB2 B(ab)4C.ab D.解析：特殊法，取a1，b4，则D不成立7函数f(x)In，若f(a)b，则f(a)_解析：因为f(x)InInInf(x)，所以f(a)f(a)b.答案：b8设a，b2，则a、b的大小关系为_解析：由，化简得2.从而
8、2，即ab答案：ab9p，q，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为_解析：p2abcd2，q2(manc)abcdabcd2q2p2，pq.答案：pq10当x(1，2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析：x2mx40mx，y在(1，2)上单调递增，(5，4)m5.答案：(，511在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列求证：ABC为等边三角形证明：由A，B，C成等差数列知，B，由余弦定理知b2a2c2ac，又a，b，c也成等差数列，b.代入上式得a2c2ac，整理得3(ac)20，ac，从而AC
9、，而B，则ABC，从而ABC为等边三角形12如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C.求证：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EFBC，EF平面ABC而BC平面ABC.EF平面ABC.(2)由三棱锥ABCA1B1C1为直三棱柱知，CC1平面A1B1C1，又A1D平面A1B1C1，A1DCC1，又A1DB1C.CC1B1CC，又CC1，B1C平面BB1C1C，A1D平面BB1C1C.又A1D平面A1FD，平面A1FD平面BB1C1C.品味高考1(2014安徽高
10、考)设alog3 7，b21.1，c0.83.1，则(B)Abac BcabCcba Dacb解析：alog3 7，1a2.b21.1，b2.c0.83.1，0c1.故cab，选B.2(2014天津高考)设alog2 ，blog ，c2，则(C)Aabc BbacCacb Dcba解析：因为2，所以alog2 1.因为1，所以blog 0.因为1，所以021，即0c1.所以acb.3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.ABDE为平行四边形BEAD.又BE平面PAD.BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED为平行四边形，BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.PACD.又ADPAA，CD平面PAD.CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF.CD平面BEF.平面BEF平面PCD.