1、专题二三角函数与平面向量三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等.解题时注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质.题型一三角函数和解三角形有关三角函数与解三角形的综合是全国各地的高考题中的一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角函数知识来处理.例 1在ABC 中，角 A，B，C 的
2、对边分别为 a，b，c，在面问题中，并作答.已知 D 是 BC 上的一点，BC2BDAB，AD2，AB6，若_，求ACD 的面积.解：若选择，由正弦定理得因为 sin(BC)sin A0，若选择，由正弦定理得sin Bcos Asin Acos B2sin Ccos B，即 sin(BA)2sin Ccos B，【互动探究】题型二三角函数和平面向量三角函数与平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题型.平面向量常常与解析几何、平面几何、数列、方程、不等式等相结合，早已成为各类考试中的新热点.例 2(2017 年江苏)已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，.(1)
3、若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【规律方法】三角函数和平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积得到三角函数解析式.(2)通过三角函数解析式进一步探讨相关性质.【互动探究】2.(2020 年大数据精选模拟卷)已知 a(2sin x，sin x(1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知题型三解三角形和平面向量例 3(2020 年广东惠州三模)在ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
4、c，向量 m(，2sin B)，向量 n(cos B，cos 2B)，且 mn，角 B 为锐角.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值.B 为锐角，2B(0，)，【规律方法】利用向量的运算性质将向量间关系化为三角形中的边角关系是解题关键.【互动探究】3.(2020 年押题导航卷)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分(1)求 A 的大小；(2)若 a，b1，D 为直线 BC 上一点，且 ADAB，求ABD 的周长.解：(1)在ABC 中，ABC，题型四三角中的范围问题例 4(2020 年浙江)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bsin A
5、a.(1)求角 B；(2)求 cos Acos Bcos C 的取值范围.(2)结合(1)的结论有【策略指导】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.【互动探究】4.(2020 年全国)ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求 A；(2)若 BC3，求 ABC 周长的最大值.解：(1)由正弦定理可得BC2AC2AB2ACAB，(2)由余弦定理得 BC2 AC2 AB2 2ACABcos A AC2 AB2ACAB9，即(ACAB)2ACAB9.
