1、综合检测时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知a,b,c,dR,且ab0,则下列各式恒成立的是()AbcadC. D解析:0两边同乘以ab,bcad,选B.答案:B2不等式|3x2|4的解集是()Ax|x2 BC. D解析:由|3x2|4,得3x24或3x22或xS2 BS16的解集为()A(,1(3,)B(,1)(3,)C3,)D(,13,)解析:原不等式可化为以下几种:x3.故选B.答案:B7对任意实数x,若不等式|x1|x2|k恒成立,则k的取值范围是()Ak3 Bk3Ck3 Dk3解析:
2、令f(x)|x1|x2|则f(x)min3,kB BAA.答案:B10若00 BF0CF0 DF0解析:0,且ysin x在(0,)上为增函数,ycos x在(0,)上为减函数0sin sin cos cos 0.根据排序不等式:乱序和反序和,则sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)答案:A11已知a2b2c29,x2y2z216,则的最大值为()A5 B7C9 D5解析: ,axbycz12,原式7,故最大值为7,选B.答案:B12记满足下列条件的函数f(x)的集合为M,当|x1|1,|x2|1时,|
3、f(x1)f(x2)|4|x1x2|,又令g(x)x22x1,由g(x)与M的关系是()Ag(x)M Bg(x)MCg(x)M D不能确定解析:g(x1)g(x2)x2x1x2x2(x1x2)(x1x22),|g(x1)g(x2)|x1x2|x1x22|x1x2|(|x1|x2|2)4|x1x2|,所以g(x)M.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)13设x,yR,且xy0,则的最小值为_解析:54x2y2529,当且仅当x2y2时等号成立答案:914关于x的不等式|x1|x2|a2a1的解集为空集,则实数a的取值范围为_解析:|x1|x2|(x1
4、)(x2)|1且|x1|x2|a2a1的解集为空集,a2a11,a2a0.1a0.答案:(1,0)15有一长方体的长,宽,高分别为x,y,z,满足9,则长方体的对角线长的最小值为_解析:(x2y2z2)(111)29,即x2y2z21.当且仅当xyz时取等号,长方体的对角线长l的最小值为1.答案:116已知a,b,cR,a2b3c6,则a24b29c2的最小值为_解析:由柯西不等式得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2,即a24b29c212,当a2b3c2时等号成立,所以a24b29c2的最小值为12.答案:12三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明
5、过程或演算步骤)17. (12分)解不等式|2x1|2x|x3.解析:(1)当x3时,显然无解,(2)当3x时,原不等式为12x2xx3.即0x.(3)当x2时,原不等式为2x12xx3,即12时,原不等式为2x1x2x3,即2x3.综合(1),(2),(3),(4)可得原不等式的解集为x|0x2,b3,求ab的最小值解析:因为a2,b3,所以a20,b30,所以ab(a2)(b3)535358(当且仅当a3,b4时,等号成立)所以所求最小值为8.19(12分)已知实数x,y,z满足xyz2,求2x23y2z2的最小值解析:由柯西不等式,(xyz)2(x)2(y)2z2,因为xyz2,所以2x
6、23y2z2,当且仅当,即x,y,z时,等号成立,所以2x23y2z2的最小值为.20(12分)设a,b,c为正数,求证:2().证明:由对称性,不妨设abc0.于是abacbc,a2b2c2,.由排序原理知:,将上面两个同向不等式相加,得2.21(13分)已知数列bn是等差数列,b11,b1b2b3b10100.(1)求数列bn的通项公式;(2)设数列an的通项an1,记Tn是数列an的前n项之积,即Tna1a2a3an,试证明:Tn.解析:(1)设等差数列bn的公差为d,则,得d2,bn2n1.(2)an11,Tna1a2a3an,当n1时,T112,命题得证假设当nk(k1,kN)时命题
7、成立,即成立,当nk1时,Tn1.,Tn1.即nk1时命题成立综上知,当nN时,Tn.22(13分)某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC80米,塔所在的山高OB220米,OA200米,图中所示的山坡可视为直线l,且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为,tan ,试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)?解析:如图建立平面直角坐标系,则A(200,0),B(0,220),C(0,300)直线l的方程为y(x200)tan ,即y.设点P的坐标为(x,y),则P(x200),由经过两点的直线的斜率公式,得kPC.kPB.由直线PC到直线PB的夹角的公式得(由图可知kPC,kPB均小于0,即x200)要使tanBPC达到最大,只需x288达到最小,由基本不等式x2882288.当且仅当x时上式取得等号,故当x320时,tanBPC最大,这时点P的纵坐标y为60.由实际问题知,0BPC,所以tanBPC最大时BPC最大故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角BPC最大